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Supplémentaire stable pour un groupe fini

groupe finiprojecteurstabilitémoyennisationMaschkeProjecteursSommation sur un groupe

Soit EE un espace vectoriel réel de dimension finie. On considère GG un sous-groupe fini de GL⁡(E)\operatorname{GL}(E).

Soit FF un sous-espace vectoriel de EE que l'on suppose stable par tous les éléments de GG.

Démontrer qu'il existe un sous-espace vectoriel SS de EE, également stable par tous les éléments de GG, tel que E=F⊕SE = F \oplus S.

1.

Commencer par choisir un projecteur pp quelconque de EE sur FF.

2.

Pour construire un projecteur "compatible" avec l'action du groupe, considérer la moyenne des conjugués de pp par les éléments de GG :

π=1∣G∣∑g∈Gg∘p∘g−1\pi = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} g \circ p \circ g^{-1}

3.

Vérifier que cet endomorphisme π\pi est un projecteur sur FF qui commute avec tous les éléments de GG.

4.

Étudier la stabilité du noyau de π\pi.

Idées clés

•

Procédé de moyenne (ou "moyennisation") sur un groupe fini.

•

Utilisation des propriétés des projecteurs.

•

Stabilité par commutation : si un projecteur commute avec un endomorphisme, son noyau et son image sont stables par cet endomorphisme.

Résolution.

  1. Construction d'un projecteur pondéré. Puisque FF est un sous-espace vectoriel de EE (dimension finie), il admet au moins un supplémentaire (non nécessairement stable). Soit p∈L(E)p \in \mathcal{L}(E) un projecteur de EE sur FF. Par définition, on a im⁡(p)=F\operatorname{im}(p) = F. On définit alors l'endomorphisme π\pi par la formule suivante :
    π=1∣G∣∑g∈Gg∘p∘g−1\pi = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} g \circ p \circ g^{-1}

  2. Vérification que π\pi est un projecteur sur FF. Montrons d'abord que pour tout x∈Ex \in E, π(x)∈F\pi(x) \in F. Pour tout g∈Gg \in G et tout x∈Ex \in E, on a p(g−1(x))∈im⁡(p)=Fp(g^{-1}(x)) \in \operatorname{im}(p) = F. Comme FF est stable par chaque élément du groupe GG, on en déduit que g(p(g−1(x)))∈Fg(p(g^{-1}(x))) \in F. Par stabilité de FF par combinaison linéaire, on obtient :
    im⁡(π)⊆F\boxed{\operatorname{im}(\pi) \subseteq F}

    Montrons maintenant que pour tout x∈Fx \in F, π(x)=x\pi(x) = x. Soit x∈Fx \in F. Pour tout g∈Gg \in G, g−1(x)∈Fg^{-1}(x) \in F par stabilité de FF par g−1g^{-1} (qui appartient aussi à GG). Puisque pp est un projecteur sur FF, on a p(g−1(x))=g−1(x)p(g^{-1}(x)) = g^{-1}(x). Il vient alors g(p(g−1(x)))=g(g−1(x))=xg(p(g^{-1}(x))) = g(g^{-1}(x)) = x. En sommant sur les ∣G∣|G| éléments du groupe :

    π(x)=1∣G∣∑g∈Gx=∣G∣∣G∣x=x\pi(x) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} x = \frac{|G|}{|G|} x = x
    On a donc π∣F=id⁡F\pi|_F = \operatorname{id}_F. Comme im⁡(π)⊆F\operatorname{im}(\pi) \subseteq F, ceci prouve que π2=π\pi^2 = \pi et que :
    im⁡(π)=F\boxed{\operatorname{im}(\pi) = F}

  3. Commutation de π\pi avec les éléments de GG. Soit h∈Gh \in G. Calculons h∘π∘h−1h \circ \pi \circ h^{-1} :
    h∘π∘h−1=1∣G∣∑g∈G(h∘g)∘p∘(h∘g)−1h \circ \pi \circ h^{-1} = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} (h \circ g) \circ p \circ (h \circ g)^{-1}
    Lorsque gg parcourt le groupe GG, l'élément g′=h∘gg' = h \circ g parcourt également tout le groupe GG (c'est une permutation des éléments du groupe). On peut donc effectuer un changement d'indice dans la somme :
    h∘π∘h−1=1∣G∣∑g′∈Gg′∘p∘(g′)−1=πh \circ \pi \circ h^{-1} = \frac{1}{|G|} \sum_{g' \in G} g' \circ p \circ (g')^{-1} = \pi
    On en déduit la relation de commutation fondamentale :
    ∀h∈G,h∘π=π∘h\boxed{\forall h \in G,   h \circ \pi = \pi \circ h}

  4. Conclusion sur le supplémentaire stable. Posons S=ker⁡(π)S = \ker(\pi). Comme π\pi est un projecteur de EE sur FF, on sait d'après le cours sur les projecteurs que :
    E=F⊕S\boxed{E = F \oplus S}
    Montrons que SS est stable par chaque h∈Gh \in G. Soit x∈Sx \in S et h∈Gh \in G. On a π(x)=0\pi(x) = 0. Grâce à la commutation établie précédemment :
    π(h(x))=(π∘h)(x)=(h∘π)(x)=h(π(x))=h(0)=0\pi(h(x)) = (\pi \circ h)(x) = (h \circ \pi)(x) = h(\pi(x)) = h(0) = 0
    On a donc h(x)∈ker⁡(π)=Sh(x) \in \ker(\pi) = S, ce qui prouve la stabilité de SS.

Attention à ne pas oublier de justifier que g−1g^{-1} appartient à GG lorsque l'on utilise la stabilité de FF. Comme GG est un groupe, l'inverse de tout élément est bien dans le groupe.