Trace d'une somme d'un groupe de matrices

Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. On considère un ensemble $\mathcal{G} = \{A_1, A_2, \ldots, A_p\}$ constitué de $p$ matrices distinctes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ .

On suppose que $\mathcal{G}$ est stable par le produit matriciel.

On pose $S = \sum_{k=1}^p A_k$ .

Justifier que $\mathcal{G}$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ .
Établir que pour tout $j \in \{1, \ldots, p\}$ , on a $A_j S = S$ .
En déduire que la matrice $M = \frac{1}{p} S$ est une matrice de projecteur.
Démontrer alors que $\operatorname{Tr}(S) \in \mathbb{N}$ et que $\operatorname{Tr}(S) \equiv 0 \pmod p$ .

1.

Pour la question 1, utiliser le fait qu'une partie finie d'un groupe stable par la loi de composition interne est un sous-groupe si ses éléments sont inversibles.

2.

Pour la question 2, considérer l'application $\phi_j : A \mapsto A_j A$ et montrer qu'il s'agit d'une permutation de $\mathcal{G}$ .

3.

Pour la question 3, calculer $S^2$ en utilisant le résultat précédent.

4.

Pour la question 4, utiliser le lien entre la trace d'un projecteur et son rang.

Idées clés

•

Utilisation de l'invariance par translation dans un groupe fini.

•

Caractérisation algébrique des projecteurs ( $P^2=P$ ).

•

Propriété de la trace d'un projecteur : $\operatorname{Tr}(P) = \operatorname{rg}(P)$ .

Résolution.

$\mathcal{G}$ est un sous-ensemble fini de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ . Par hypothèse, $\mathcal{G}$ est stable par multiplication. Pour tout $A \in \mathcal{G}$ , l'application $X \mapsto AX$ est une injection de $\mathcal{G}$ dans lui-même (par inversibilité de $A$ dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ ). Comme $\mathcal{G}$ est fini, c'est une bijection. Ainsi, il existe $A_k \in \mathcal{G}$ tel que $AA_k = A$ . En multipliant par $A^{-1}$ à gauche, on en déduit que $I_n = A_k \in \mathcal{G}$ . De même, il existe $A_j \in \mathcal{G}$ tel que $AA_j = I_n$ , donc $A^{-1} \in \mathcal{G}$ . $\boxed{\mathcal{G} \text{ est un sous-groupe de } \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})}$
Soit $j \in \{1, \ldots, p\}$ . L'application $\phi_j : \mathcal{G} \to \mathcal{G}$ définie par $\phi_j(A) = A_j A$ est une permutation de l'ensemble fini $\mathcal{G}$ . En effet, elle est injective par inversibilité de $A_j$ , et donc surjective par finitude. On peut alors réindexer la somme définissant $S$ : $A_j S = A_j \sum_{k=1}^p A_k = \sum_{k=1}^p A_j A_k$ Comme l'application $k \mapsto \sigma(k)$ telle que $A_j A_k = A_{\sigma(k)}$ est une permutation de $\{1, \ldots, p\}$ , on a : $\sum_{k=1}^p A_j A_k = \sum_{i=1}^p A_i = S$ D'où le résultat : $\boxed{\forall j \in \{1, \ldots, p\}, A_j S = S}$
Calculons $S^2$ en utilisant la linéarité à gauche : $S^2 = \left( \sum_{j=1}^p A_j \right) S = \sum_{j=1}^p (A_j S)$ D'après la question précédente, chaque terme $A_j S$ est égal à $S$ . On somme $p$ fois la matrice $S$ : $S^2 = \sum_{j=1}^p S = p S$ En divisant par $p^2$ , on obtient : $\frac{1}{p^2} S^2 = \frac{1}{p} S \iff \left(\frac{1}{p}S\right)^2 = \frac{1}{p}S$ $\boxed{M = \frac{1}{p}S \text{ est la matrice d'un projecteur}}$
On sait que la trace d'une matrice de projecteur est égale à son rang. Soit $r = \operatorname{rg}(M)$ . Comme $M$ est une matrice de taille $n$ , son rang $r$ est un entier compris entre $0$ et $n$ . $\operatorname{Tr}(M) = r \in \{0, 1, \ldots, n\}$ Par linéarité de la trace, on a $\operatorname{Tr}(M) = \frac{1}{p} \operatorname{Tr}(S)$ . On en déduit l'expression de la trace de $S$ : $\operatorname{Tr}(S) = p \cdot r$ Puisque $r$ est un entier naturel, il est immédiat que $\operatorname{Tr}(S)$ est un entier naturel. De plus, l'égalité $\operatorname{Tr}(S) = pr$ montre que $\operatorname{Tr}(S)$ est un multiple de $p$ . $\boxed{\operatorname{Tr}(S) \in \mathbb{N} \text{et} \operatorname{Tr}(S) \equiv 0 \pmod p}$

Attention à ne pas supposer que les $A_i$ commutent entre elles. Le raisonnement par permutation de l'indice de sommation permet d'éviter cette hypothèse inutile.