Traces d'un groupe fini de matrices

Soit $d \in \mathbb{N}^*$ et $G$ un sous-groupe fini de $GL_d(\mathbb{C})$ . On s'intéresse à l'ensemble des traces des matrices de $G$ privées de l'identité, défini par :

X = \{ \operatorname{tr}(g) \mid g \in G \setminus \{I_d\} \}

Montrer que tout élément $g \in G$ est une matrice diagonalisable dont les valeurs propres sont des racines de l'unité.
Pour $g \in G$ , exprimer la trace de $g$ en fonction de ses valeurs propres. En déduire que pour tout $g \in G$ , on a l'inégalité $|\operatorname{tr}(g)| \leq d$ .
Déterminer les éléments $g \in G$ tels que $\operatorname{tr}(g) = d$ .
Conclure que le produit suivant est non nul : $\prod_{x \in X} (x - d) \neq 0$

1.

Utiliser le fait que dans un groupe fini, tout élément est d'ordre fini pour trouver un polynôme annulateur simple.

2.

Se souvenir qu'une matrice diagonalisable dont toutes les valeurs propres sont égales à $1$ est l'identité.

3.

Utiliser le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire pour les nombres complexes : $|\sum z_i| = \sum |z_i|$ si et seulement si les $z_i$ sont positivement colinéaires.

Idées clés

•

Lien entre ordre fini et diagonalisabilité via les polynômes annulateurs.

•

Propriétés géométriques des racines de l'unité dans le plan complexe.

•

Caractérisation de la matrice identité parmi les matrices diagonalisables.

Résolution.

Soit $g \in G$ $g \in G$ . Puisque le groupe $G$ $G$ est fini de cardinal $n = \text{card}(G)$ $n = card (G)$ , l'ordre de $g$ $g$ est fini et divise $n$ $n$ (par le théorème de Lagrange ou en considérant la suite des puissances de $g$ $g$ qui finit par boucler). Il existe donc un entier $k \in \mathbb{N}^*$ $k \in N^{*}$ tel que $g^k = I_d$ $g^{k} = I_{d}$ . Le polynôme $P(X) = X^k - 1$ $P (X) = X^{k} - 1$ est donc un polynôme annulateur de $g$ $g$ . Ce polynôme $P$ $P$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ $C$ (les racines sont les racines $k$ $k$ -ièmes de l'unité). D'après le cours sur la réduction, une matrice possédant un polynôme annulateur scindé à racines simples est diagonalisable.
- Conclusion intermédiaire :
$\boxed{ \text{Toute matrice } g \in G \text{ est diagonalisable et ses valeurs propres sont dans } \mathbb{U} }$
Soit $g \in G$ . Notons $\lambda_1, \dots, \lambda_d$ ses valeurs propres (comptées avec multiplicité). Comme vu précédemment, chaque $\lambda_j$ est une racine de l'unité, donc $|\lambda_j| = 1$ . La trace étant la somme des valeurs propres, on a : $\operatorname{tr}(g) = \sum_{j=1}^d \lambda_j$ Par l'inégalité triangulaire classique sur $\mathbb{C}$ : $|\operatorname{tr}(g)| = \left| \sum_{j=1}^d \lambda_j \right| \leq \sum_{j=1}^d |\lambda_j| = \sum_{j=1}^d 1 = d$ On obtient bien : $\boxed{ \forall g \in G, |\operatorname{tr}(g)| \leq d }$
Supposons que $\operatorname{tr}(g) = d$ $tr (g) = d$ . D'après la question précédente, cela implique que $\sum_{j=1}^d \lambda_j = d$ $\sum_{j = 1}^{d} λ_{j} = d$ . Comme $|\lambda_j| = 1$ $∣ λ_{j} ∣ = 1$ , le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire pour les sommes de nombres complexes impose que tous les termes soient positivement colinéaires. Il existe donc $\alpha \in \mathbb{R}_+$ $α \in R_{+}$ tel que pour tout $j \in \{1, \dots, d\}$ $j \in {1, \dots, d}$ , $\lambda_j = \alpha \cdot 1$ $λ_{j} = α \cdot 1$ . Puisque $|\lambda_j| = 1$ $∣ λ_{j} ∣ = 1$ , on a nécessairement $\alpha = 1$ $α = 1$ . Ainsi, $\lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_d = 1$ $λ_{1} = λ_{2} = \dots = λ_{d} = 1$ . Comme $g$ $g$ est diagonalisable, il existe $P \in GL_d(\mathbb{C})$ $P \in G L_{d} (C)$ telle que :
$g = P \operatorname{diag}(1, \dots, 1) P^{-1} = P I_d P^{-1} = I_d$
Réciproquement, $\operatorname{tr}(I_d) = d$ $tr (I_{d}) = d$ .
- Caractérisation :
$\boxed{ \operatorname{tr}(g) = d \iff g = I_d }$
L'ensemble $X$ est défini par les traces des éléments de $G$ distincts de l'identité : $X = \{ \operatorname{tr}(g) \mid g \in G, g \neq I_d \}$ D'après l'équivalence démontrée à la question 3, si $g \neq I_d$ , alors sa trace ne peut pas être égale à $d$ . Par conséquent : $\forall x \in X, x \neq d \implies x - d \neq 0$ Le produit de facteurs tous non nuls est non nul. On en déduit : $\boxed{ \prod_{x \in X} (x - d) \neq 0 }$

L'erreur classique serait d'oublier l'argument de diagonalisabilité. Une matrice non diagonalisable pourrait avoir toutes ses valeurs propres égales à 1 (matrice unipotente) sans être l'identité. Cependant, dans un groupe fini, la diagonalisabilité est automatique sur $\mathbb{C}$ .