Sous-groupes cycliques de GL_n(R)

_n(\mathbb{R})$}

Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n \in \mathbb{N}^*$ pour lesquels le groupe linéaire $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})$ admet un sous-groupe isomorphe au groupe des racines quatrièmes de l'unité $\mathbb{U}_{4}$ .

1.

Traduire l'existence d'un tel sous-groupe par l'existence d'une matrice $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ dont l'ordre dans le groupe est exactement 4.

2.

Utiliser les propriétés des polynômes annulateurs et le fait que les valeurs propres complexes d'une matrice réelle sont liées par la conjugaison.

3.

Examiner séparément le cas $n=1$ avant de généraliser pour $n \ge 2$ par une construction par blocs.

Idées clés

•

Un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ est isomorphe à $\mathbb{U}_4$ si et seulement s'il est engendré par une matrice $A$ telle que $A^4 = I_n$ et $A^2 \neq I_n$ .

•

Pour une matrice réelle, si $\lambda \in \mathbb{C}$ est une valeur propre, alors $\bar{\lambda}$ est aussi valeur propre avec la même multiplicité.

Résolution.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . L'existence d'un sous-groupe $G$ de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ isomorphe à $\mathbb{U}_4$ équivaut à l'existence d'un élément $A \in G$ d'ordre 4 dans le groupe $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ .

En effet, $\mathbb{U}_4$ est un groupe cyclique d'ordre 4 engendré par $i$ . Si $\phi : \mathbb{U}_4 \to G$ est un isomorphisme, alors $A = \phi(i)$ vérifie :

A^4 = \phi(i^4) = \phi(1) = I_n

et pour tout $k \in \{1, 2, 3\}$ , $A^k = \phi(i^k) \neq I_n$ car $\phi$ est injective.

1. Analyse du cas $n=1$ .

Dans ce cas, $\mathrm{GL}_1(\mathbb{R})$ est isomorphe au groupe $(\mathbb{R}^*, \times)$ . Les éléments de $(\mathbb{R}^*, \times)$ ayant un ordre fini sont les racines de l'unité réelles.

Or, les seules racines réelles de l'unité sont $1$ (d'ordre 1) et $-1$ (d'ordre 2). Il n'existe donc pas d'élément d'ordre 4 dans $\mathbb{R}^*$ .

Ainsi, la condition n'est pas remplie pour $n=1$ .

2. Condition nécessaire sur les valeurs propres pour $n \ge 2$ .

Soit $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ une matrice d'ordre 4. Le polynôme $P(X) = X^4 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2+1)$ est un polynôme annulateur de $A$ .

Les valeurs propres complexes de $A$ appartiennent donc à l'ensemble des racines de $P$ :

\mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(A) \subset \{1, -1, i, -i\}

Comme $A$ est une matrice à coefficients réels, son polynôme caractéristique est à coefficients réels. Par conséquent, si $i$ est valeur propre de $A$ , alors $\bar{i} = -i$ est également valeur propre de $A$ avec la même multiplicité.

Si $i$ n'était pas valeur propre de $A$ , alors $-i$ ne le serait pas non plus. Les valeurs propres de $A$ seraient alors incluses dans $\{1, -1\}$ .

Dans ce cas, le polynôme $(X-1)(X+1) = X^2 - 1$ serait un polynôme annulateur de $A$ car $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ (étant annulée par un polynôme scindé à racines simples).

On aurait alors $A^2 = I_n$ , ce qui contredit le fait que $A$ est d'ordre 4. On en déduit que $i$ et $-i$ sont nécessairement valeurs propres de $A$ .

Puisque les valeurs propres non réelles apparaissent par paires, la dimension $n$ de l'espace doit permettre d'héberger au moins une telle paire. Ceci impose :

n \ge 2

3. Synthèse et construction pour $n \ge 2$ .

Supposons $n \ge 2$ . Nous pouvons construire une matrice de rotation d'angle $\pi/2$ . Considérons la matrice par blocs :

J = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix}

Un calcul direct donne :

J^2 = -I_2,   J^3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 -1 & 0 \end{pmatrix},   J^4 = I_2

La matrice $J$ est donc d'ordre 4 dans $\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ . Pour $n > 2$ , il suffit de considérer la matrice définie par blocs :

A = \begin{pmatrix} J & 0 0 & I_{n-2} \end{pmatrix}

Cette matrice $A$ appartient à $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ et son ordre est le plus petit commun multiple des ordres des blocs diagonaux. L'ordre de $J$ est 4 et l'ordre de $I_{n-2}$ est 1.

\text{Ordre}(A) = \text{ppcm}(4, 1) = 4

Le sous-groupe $G = \langle A \rangle = \{I_n, A, A^2, A^3\}$ est alors un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ isomorphe à $\mathbb{U}_4$ .

Conclusion :

\boxed{ n \ge 2 }

Ne pas oublier de justifier pourquoi $i$ et $-i$ doivent avoir la même multiplicité en tant que racines du polynôme caractéristique. C'est ce qui impose que $n$ soit au moins 2.