Sous-groupes cycliques du groupe linéaire réel

On considère le groupe multiplicatif des matrices inversibles $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})$ pour $n \in \mathbb{N}^*$ .

Déterminer l'ensemble des entiers $n$ tels que $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})$ admet au moins un sous-groupe isomorphe au groupe $(\mathbb{U}_{4}, \cdot)$ des racines quatrièmes de l'unité dans $\mathbb{C}$ .

1.

Rappeler que $\mathbb{U}_4$ est un groupe cyclique d'ordre 4. L'existence d'un tel sous-groupe équivaut à l'existence d'une matrice $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ d'ordre 4.

2.

Utiliser le lien entre l'ordre d'une matrice et ses polynômes annulateurs.

3.

Penser aux propriétés des valeurs propres complexes d'une matrice à coefficients réels.

Idées clés

•

Un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ est isomorphe à $\mathbb{U}_4$ si et seulement s'il est engendré par une matrice $A$ telle que $\text{ord}(A) = 4$ .

•

Pour une matrice réelle, si $\lambda \in \mathbb{C}$ est une valeur propre, alors son conjugué $\bar{\lambda}$ l'est également avec la même multiplicité.

Résolution.

1. Traduction de l'énoncé en termes de matrice.

Le groupe $\mathbb{U}_4 = \{1, i, -1, -i\}$ est un groupe cyclique d'ordre 4.

L'existence d'un sous-groupe $G \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ isomorphe à $\mathbb{U}_4$ est équivalente à l'existence d'un élément $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ dont l'ordre dans le groupe est exactement 4.

Cela signifie que la matrice $A$ doit vérifier :

A^4 = I_n   \text{et}   A^k \neq I_n \text{ pour } k \in \{1, 2, 3\}

2. Condition nécessaire sur $n$ .

Supposons qu'une telle matrice $A$ existe.

Le polynôme $P(X) = X^4 - 1$ est un polynôme annulateur de $A$ . Ses racines dans $\mathbb{C}$ sont $\{1, -1, i, -i\}$ .

Comme $P$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ , la matrice $A$ est diagonalisable dans $M_n(\mathbb{C})$ .

Ses valeurs propres complexes appartiennent à l'ensemble $\{1, -1, i, -i\}$ .

Supposons par l'absurde que $i$ et $-i$ ne soient pas valeurs propres de $A$ .

Alors le spectre de $A$ serait inclus dans $\{1, -1\}$ .

Comme $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ , son polynôme minimal diviserait alors $(X-1)(X+1) = X^2 - 1$ .

On en déduirait que $A^2 = I_n$ , ce qui contredit le fait que l'ordre de $A$ est 4.

Ainsi, $i$ ou $-i$ doit être une valeur propre de $A$ .

Or, $A$ est une matrice à coefficients réels. Son polynôme caractéristique $\chi_A$ est donc dans $\mathbb{R}[X]$ .

Si $i$ est racine de $\chi_A$ , alors $\bar{i} = -i$ est également racine de $\chi_A$ avec la même multiplicité.

On en déduit que le polynôme $\chi_A$ est divisible dans $\mathbb{R}[X]$ par :

(X - i)(X + i) = X^2 + 1

En comparant les degrés, on obtient :

n = \deg(\chi_A) \geq \deg(X^2 + 1) = 2

On a donc établi la condition nécessaire :

\boxed{n \geq 2}

3. Condition suffisante sur $n$ .

Supposons $n \geq 2$ . Nous devons construire une matrice $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ d'ordre 4.

Considérons la matrice de rotation d'angle $\pi/2$ dans le plan :

J = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix}

Un calcul direct donne $J^2 = -I_2$ et $J^4 = I_2$ . L'ordre de $J$ est donc 4.

Pour $n \geq 2$ , on peut définir la matrice $A$ par blocs :

A = \begin{pmatrix} J & 0 0 & I_{n-2} \end{pmatrix}

Cette matrice $A$ est bien réelle et appartient à $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ . Ses puissances sont :

A^2 = \begin{pmatrix} -I_2 & 0 0 & I_{n-2} \end{pmatrix} \neq I_n   \text{et}   A^4 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 0 & I_{n-2} \end{pmatrix} = I_n

L'ordre de $A$ est bien 4. Le sous-groupe engendré par $A$ , à savoir $\{I_n, A, A^2, A^3\}$ , est donc isomorphe à $\mathbb{U}_4$ .

Conclusion.

\boxed{ \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \text{ possède un tel sous-groupe si et seulement si } n \geq 2 }

L'erreur fréquente est d'oublier que la matrice doit être réelle. Si l'on travaillait dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ , la condition serait $n \geq 1$ car la matrice $A = (i)$ conviendrait. Dans $\mathbb{R}$ , les valeurs propres complexes non réelles "consomment" deux dimensions.