Sous-groupes de GL_n(R) isomorphes à (Z/4Z)^2

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On se propose de déterminer l'ensemble des entiers $n \in \mathbb{N}^{*}$ tels que le groupe linéaire $\mathcal{GL}_{n}(\mathbb{R})$ contienne un sous-groupe isomorphe au produit direct $(\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z})$ .

1.

Pour $n$ assez grand, construire un tel groupe par blocs en utilisant des matrices de rotation d'angle $\pi/2$ .

2.

Pour $n=3$ , montrer qu'une matrice $A$ d'ordre 4 possède nécessairement les valeurs propres $i$ et $-i$ dans $\mathbb{C}$ .

3.

Utiliser le fait que deux matrices qui commutent stabilisent leurs sous-espaces propres respectifs.

4.

Dénombrer les matrices possibles dans le commutant d'une matrice $A$ de $GL_3(\mathbb{R})$ d'ordre 4.

Idées clés

•

Construction par blocs pour la condition suffisante.

•

Étude du spectre des matrices d'ordre fini (racines de l'unité).

•

Propriétés des matrices réelles en dimension impaire (existence d'une valeur propre réelle).

•

Structure du commutant pour limiter la taille du groupe.

1. Condition suffisante : cas $n \geq 4$ .

Considérons la matrice de rotation d'angle $\pi/2$ dans $\mathbb{R}^2$ :

J = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix}

On vérifie immédiatement que $J^2 = -I_2$ , $J^3 = -J$ et $J^4 = I_2$ . Ainsi, le groupe engendré par $J$ est cyclique d'ordre 4, isomorphe à $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ .

Pour $n=4$ , on peut définir les deux matrices suivantes par blocs :

A = \begin{pmatrix} J & 0 0 & I_2 \end{pmatrix}   \text{et}   B = \begin{pmatrix} I_2 & 0 0 & J \end{pmatrix}

$A$ et $B$ sont de taille $4 \times 4$ et à coefficients réels.
$A$ et $B$ commutent car ce sont des matrices diagonales par blocs dont les blocs diagonaux commutent entre eux.
$A$ et $B$ sont chacune d'ordre 4.
L'intersection des groupes engendrés est $\langle A \rangle \cap \langle B \rangle = \{I_4\}$ .

Par conséquent, le groupe $G = \langle A, B \rangle$ est isomorphe à $\langle A \rangle \times \langle B \rangle \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ .

\boxed{ \text{Pour } n \geq 4, \mathcal{GL}_n(\mathbb{R}) \text{ contient un tel sous-groupe.} }

\vspace{0.5cm}

2. Condition nécessaire : analyse pour $n \leq 3$ .

Supposons qu'un tel sous-groupe $G$ existe pour $n=3$ . Soit $\{A, B\}$ une famille génératrice de $G$ telle que $A^4=B^4=I_3$ et $AB=BA$ .

Étape (a) : Spectre de $A$ . Puisque $A$ est d'ordre 4, son polynôme minimal $\mu_A$ divise $X^4-1 = (X-1)(X+1)(X-i)(X+i)$ . De plus, $A^2 \neq I_3$ (sinon l'ordre serait 1 ou 2), donc les racines $i$ et $-i$ sont nécessairement des valeurs propres de $A$ (elles doivent être présentes pour que le polynôme minimal ne divise pas $X^2-1$ ).

Comme $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ , son polynôme caractéristique est de degré 3 et possède au moins une racine réelle $\varepsilon \in \{1, -1\}$ . Les deux autres racines sont conjuguées, donc ce sont $i$ et $-i$ . Ainsi, $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ avec :

\text{Sp}(A) = \{ \varepsilon, i, -i \}   \text{où } \varepsilon \in \{1, -1\}

\vspace{0.3cm}

Étape (b) : Étude du commutant. Puisque $A$ possède trois valeurs propres distinctes dans $\mathbb{C}$ , ses sous-espaces propres sont des droites complexes $D_1, D_2, D_3$ . Comme $B$ commute avec $A$ , $B$ stabilise ces trois droites. $B$ agit donc sur chaque droite comme une homothétie :

B u_k = \mu_k u_k   \text{pour } k \in \{1, 2, 3\}

où

u_1 \in E_\varepsilon(A)

,

u_2 \in E_i(A)

et

u_3 \in E_{-i}(A)

. Puisque

B^4=I_3

, les valeurs propres

\mu_k

sont dans

\{1, -1, i, -i\}

.

\vspace{0.3cm}

Étape (c) : Contrainte de réalité. $B$ est une matrice réelle. Si $u_2$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $i$ pour $A$ , alors $\bar{u_2}$ est un vecteur propre associé à $-i$ . On peut donc poser $u_3 = \bar{u_2}$ . Alors $B \bar{u_2} = \overline{B u_2} = \overline{\mu_2 u_2} = \bar{\mu_2} \bar{u_2}$ . Ceci impose $\mu_3 = \bar{\mu_2}$ . De même, comme $u_1$ est associé à une valeur propre réelle $\varepsilon$ , on peut choisir $u_1$ réel, donc $B u_1 = \mu_1 u_1$ implique $\mu_1 \in \mathbb{R}$ . D'où $\mu_1 \in \{1, -1\}$ .

\vspace{0.3cm}

Étape (d) : Conclusion pour $n=3$ . Les choix possibles pour le triplet de valeurs propres de $B$ sont :

$\mu_1 \in \{1, -1\}$ (2 choix)
$\mu_2 \in \{1, -1, i, -i\}$ (4 choix, car $\mu_3$ est alors imposé par $\bar{\mu_2}$ )

Il y a donc au plus

2 \times 4 = 8

matrices réelles dans le commutant de

A

qui sont d'ordre divisant 4. Un sous-groupe de

\mathcal{GL}_3(\mathbb{R})

constitué de telles matrices ne peut donc pas avoir un cardinal égal à 16. Or, le cardinal de

(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^2

est 16.

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Étape (e) : Cas $n=1, 2$ . Pour $n=1$ , le groupe est $\mathbb{R}^*$ , ses éléments d'ordre fini sont $\{1, -1\}$ , le groupe est de taille 2. Pour $n=2$ , si $A$ est d'ordre 4, son spectre est $\{i, -i\}$ . Le commutant est de dimension 2, et un raisonnement similaire montre qu'il n'y a que 4 matrices d'ordre divisant 4 dans ce commutant (les matrices de rotation).

\boxed{ \text{Conclusion : } n \in \mathbb{N} \setminus \{1, 2, 3\} = \{ n \in \mathbb{N}, n \geq 4 \} }

Attention à ne pas oublier que si $A$ est réelle, ses valeurs propres complexes non réelles sont deux à deux conjuguées. Cela réduit drastiquement les libertés pour la matrice $B$ qui commute avec $A$ .