Sous-groupes commutatifs compacts de GLn(C)

Résolution.

1. Étude du spectre des éléments de $G$. Soit $A \in G$. Puisque $G$ est un sous-groupe, pour tout $k \in \mathbb{Z}$, on a $A^k \in G$. Par hypothèse, $G$ est compact dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, donc $G$ est une partie bornée. Il existe donc une constante $M > 0$ telle que :
   $$\forall k \in \mathbb{Z},   \|A^k\| \leq M$$
   Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre de $A$. Alors $\lambda^k$ est une valeur propre de $A^k$. Comme le rayon spectral est inférieur à n'importe quelle norme subordonnée (et que toutes les normes sont équivalentes en dimension finie), il existe $C > 0$ tel que $|\lambda^k| \leq C \|A^k\|$. On en déduit que la suite $(|\lambda|^k)_{k \in \mathbb{Z}}$ est bornée. Si $|\lambda| > 1$, alors $|\lambda|^k \xrightarrow{k \to +\infty} +\infty$, ce qui est exclu. Si $|\lambda| < 1$, alors $|\lambda|^k \xrightarrow{k \to -\infty} +\infty$, ce qui est exclu. On en conclut que :
   $$\boxed{\forall A \in G,   \mathrm{Sp}(A) \subset \mathbb{U}}$$

2. Diagonalisabilité des éléments de $G$. Soit $A \in G$. Montrons que $A$ est diagonalisable. Supposons par l'absurde qu'elle ne le soit pas. Le polynôme caractéristique de $A$ est scindé sur $\mathbb{C}$. $A$ est donc semblable à une matrice triangulaire supérieure $T$. Si $A$ n'est pas diagonalisable, il existe au moins une valeur propre $\lambda$ dont la multiplicité comme racine du polynôme minimal est $m \geq 2$. Dans ce cas, $A$ est semblable à une matrice présentant un bloc de la forme $B = \begin{pmatrix} \lambda & 1$
   0 & \lambda \end{pmatrix}. Calculons les puissances de ce bloc par récurrence ou par la formule du binôme :
   $$B^k = \begin{pmatrix} \lambda^k & k\lambda^{k-1}$$
   0 & \lambda^k \end{pmatrix}
   Comme $|\lambda| = 1$, le coefficient supérieur droit de $B^k$ a pour module $|k\lambda^{k-1}| = k$. Ainsi, $\|B^k\| \xrightarrow{k \to +\infty} +\infty$, ce qui implique $\|A^k\| \xrightarrow{k \to +\infty} +\infty$. Cela contredit le fait que $G$ est borné. Ainsi :
   $$\boxed{\forall A \in G, \text{$$$A$ est diagonalisable}}

3. Codiagonalisation et conclusion. Le groupe $G$ est un ensemble de matrices diagonalisables qui commutent deux à deux. D'après le théorème de réduction simultanée, il existe une base commune de diagonalisation. Il existe donc une matrice de passage $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ telle que :
   $$\forall A \in G,   P^{-1}AP = \Delta_A$$
   où $\Delta_A = \mathrm{diag}(\lambda_1(A), \dots, \lambda_n(A))$ est une matrice diagonale. D'après la première question, les éléments diagonaux $\lambda_i(A)$ sont tous de module 1. On définit l'application suivante :
   $$\phi : \begin{cases} G \to \mathbb{U}^n$$
   A \mapsto (\lambda_1(A), \dots, \lambda_n(A)) \end{cases}
   1. $\phi$ est un morphisme de groupes car $P^{-1}(AB)P = (P^{-1}AP)(P^{-1}BP)$, donc $\Delta_{AB} = \Delta_A \Delta_B$.
   2. $\phi$ est injective : si $\phi(A) = (1, \dots, 1)$, alors $\Delta_A = I_n$, d'où $A = P I_n P^{-1} = I_n$. Le noyau est réduit au neutre de $G$.
   Par le premier théorème d'isomorphisme (ou simplement par définition d'un morphisme injectif sur son image) :
   $$\boxed{G \cong \phi(G) \subset \mathbb{U}^n}$$