Compacité et structure de sous-groupe

_n(\mathbb{C})$ stables par produit}

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère une partie $\mathcal{A}$ de $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$ vérifiant les trois propriétés suivantes :

$\mathcal{A}$ est non vide.
$\mathcal{A}$ est une partie compacte de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .
$\mathcal{A}$ est stable pour le produit matriciel : $\forall (M, N) \in \mathcal{A}^2, MN \in \mathcal{A}$ .

Montrer que $\mathcal{A}$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$ .

1.

Pour montrer qu'une partie stable par produit est un sous-groupe, il suffit de prouver qu'elle contient la matrice identité $I_n$ et qu'elle est stable par passage à l'inverse.

2.

Utiliser le fait que dans un compact, toute suite possède une valeur d'adhérence.

3.

Considérer les puissances d'un élément $A \in \mathcal{A}$ et exploiter la continuité de l'inverse sur $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ .

Idées clés

•

Caractérisation des sous-groupes (stabilité, élément neutre, inverse).

•

Utilisation de la compacité via les suites (valeurs d'adhérence).

•

Lien entre la limite des puissances et l'inverse dans un groupe topologique.

Résolution.

Soit $\mathcal{A}$ une partie non vide, compacte de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ , stable par produit. Par hypothèse de stabilité, pour tout $A \in \mathcal{A}$ et pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ , on a $A^k \in \mathcal{A}$ .

1. Présence de l'élément neutre $I_n$ dans $\mathcal{A$ $A$ .}

Soit $A \in \mathcal{A}$ . Considérons la suite $(A^k)_{k \in \mathbb{N}^*}$ . Puisque $\mathcal{A}$ est compact, cette suite d'éléments de $\mathcal{A}$ admet une sous-suite convergente.

Il existe donc une application $\phi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}^*$ strictement croissante et une matrice $B \in \mathcal{A}$ telles que :

\lim_{k \to +\infty} A^{\phi(k)} = B

Comme $\mathcal{A} \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ , la matrice $B$ est inversible. L'application $M \mapsto M^{-1}$ est continue sur $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ . On en déduit :

\lim_{k \to +\infty} (A^{\phi(k)})^{-1} = B^{-1}

Considérons alors la suite définie par $U_k = A^{\phi(k+1) - \phi(k)}$ . Comme $\phi$ est strictement croissante, on a $\phi(k+1) - \phi(k) \in \mathbb{N}^*$ , donc $U_k \in \mathcal{A}$ . On peut écrire :

U_k = A^{\phi(k+1)} \cdot (A^{\phi(k)})^{-1}

Par produit de limites dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ , on obtient :

\lim_{k \to +\infty} U_k = B \cdot B^{-1} = I_n

Puisque $\mathcal{A}$ est compact, il est fermé dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . La limite d'une suite d'éléments de $\mathcal{A}$ appartient donc à $\mathcal{A}$ .

\boxed{ I_n \in \mathcal{A} }

2. Stabilité par passage à l'inverse.

Soit $A \in \mathcal{A}$ . Reprenons la suite $U_k = A^{p_k}$ où $p_k = \phi(k+1) - \phi(k) \ge 1$ , qui converge vers $I_n$ .

Si $A = I_n$ , alors $A^{-1} = I_n \in \mathcal{A}$ . Supposons désormais $A \neq I_n$ .

S'il existait un rang $N$ tel que pour tout $k \ge N$ , $p_k = 1$ , alors $\phi(k+1) = \phi(k) + 1$ pour $k \ge N$ . Cela impliquerait que la suite $(A^k)$ converge vers $B$ . On aurait alors $A \cdot B = \lim A^{k+1} = B$ , d'où $A = I_n$ car $B$ est inversible, ce qui contredit notre hypothèse.

Ainsi, la suite d'entiers $(p_k)$ prend des valeurs supérieures ou égales à 2 pour une infinité d'indices $k$ . Soit $\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ une extractrice telle que $p_{\psi(k)} \ge 2$ pour tout $k$ . On a alors $A^{p_{\psi(k)} - 1} \in \mathcal{A}$ par stabilité. Or :

A^{p_{\psi(k)} - 1} = A^{p_{\psi(k)}} \cdot A^{-1}

En passant à la limite quand $k \to +\infty$ :

\lim_{k \to +\infty} A^{p_{\psi(k)} - 1} = I_n \cdot A^{-1} = A^{-1}

Par fermeture de $\mathcal{A}$ , on conclut que :

\boxed{ A^{-1} \in \mathcal{A} }

Conclusion. $\mathcal{A}$ est une partie non vide de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ , stable par produit, contenant $I_n$ et stable par inversion. C'est donc un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ .

Ne pas oublier de justifier que la limite $B$ est inversible. C'est garanti par le fait que $\mathcal{A}$ est inclus dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ . Si $\mathcal{A}$ était seulement un compact de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , la limite pourrait être une matrice singulière (ex: $A^k$ avec $\|A\| < 1$ ).