Adhérence d'un groupe de matrices triangulaires

On considère les deux matrices suivantes de $\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{R})$ :

A=\begin{pmatrix} 2 & 1 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix},   B=\begin{pmatrix} 3 & 0 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}

Soit $G = \langle A, B \rangle$ le sous-groupe de $\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{R})$ engendré par $A$ et $B$ .

Déterminer l'adhérence de $G$ pour la topologie usuelle de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ .

1.

Remarquer que $G$ est inclus dans le groupe des matrices triangulaires supérieures à coefficients diagonaux strictement positifs.

2.

Étudier l'image de $G$ par le morphisme qui à une matrice triangulaire associe son premier coefficient diagonal. Utiliser la densité des sous-groupes de $(\mathbb{R}, +)$ .

3.

Utiliser des conjugaisons du type $B^k A B^{-k}$ pour faire apparaître des matrices de transvection dont les coefficients deviennent arbitrairement petits.

4.

Conclure en utilisant le fait que l'adhérence d'un sous-groupe est un sous-groupe.

Idées clés

•

Analyse de la structure algébrique (sous-groupe de matrices triangulaires).

•

Utilisation de la densité des sous-groupes de type $\mathbb{Z}\alpha + \mathbb{Z}\beta$ dans $\mathbb{R}$ .

•

Action de la conjugaison sur les parties unipotentes.

Résolution.

Soit $T_2^+(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices de la forme $\begin{pmatrix} a & b 0 & a^{-1} \end{pmatrix}$ avec $a \in \mathbb{R}_+^*$ et $b \in \mathbb{R}$ .

On vérifie immédiatement que $T_2^+(\mathbb{R})$ est un sous-groupe de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ . Comme $A \in T_2^+(\mathbb{R})$ et $B \in T_2^+(\mathbb{R})$ , on a par stabilité :

G \subset T_2^+(\mathbb{R})

Comme $T_2^+(\mathbb{R})$ est fermé dans $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ (car défini par une condition d'annulation de coefficient et une condition de signe large sur l'adhérence), on a $\overline{G} \subset T_2^+(\mathbb{R})$ .

1. Étude de la partie diagonale.

Soit $\phi : T_2^+(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}_+^*$ l'application qui à une matrice associe son coefficient en position $(1,1)$ . C'est un morphisme de groupes pour la multiplication.

On a $\phi(G) = \{ 2^n 3^m : (n,m) \in \mathbb{Z}^2 \}$ .

En passant au logarithme, l'étude de $\phi(G)$ revient à étudier le sous-groupe de $(\mathbb{R}, +)$ :

L = \{ n \ln 2 + m \ln 3 : (n,m) \in \mathbb{Z}^2 \}

Comme $\frac{\ln 2}{\ln 3} \notin \mathbb{Q}$ (car $2^p = 3^q$ n'a pas de solution entière non nulle par unicité de la décomposition en facteurs premiers), le sous-groupe $L$ est dense dans $\mathbb{R}$ .

Par continuité de l'exponentielle, on en déduit que :

\boxed{\overline{\phi(G)} = \mathbb{R}_+^*}

2. Extraction de matrices de translation (transvections).

Calculons le conjugué de $A$ par les puissances de $B$ . Pour tout $k \in \mathbb{Z}$ :

B^k A B^{-k} = \begin{pmatrix} 3^k & 0 0 & 3^{-k} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 0 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^{-k} & 0 0 & 3^k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3^{2k} 0 & 1/2 \end{pmatrix}

Cette matrice appartient à $G$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$ . En faisant tendre $k$ vers $-\infty$ , on obtient par fermeture de $\overline{G}$ :

\lim_{k \to -\infty} \begin{pmatrix} 2 & 3^{2k} 0 & 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 0 & 1/2 \end{pmatrix} \in \overline{G}

Dès lors, $\overline{G}$ contient la matrice de transvection :

U = \begin{pmatrix} 2 & 0 0 & 1/2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 2 & 1 0 & 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 0 & 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 0 & 1 \end{pmatrix}

3. Densité de la partie unipotente.

Par conjugaison de $U$ par les puissances de $B$ , on obtient que pour tout $k \in \mathbb{Z}$ :

B^k U B^{-k} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} 3^{2k} 0 & 1 \end{pmatrix} \in \overline{G}

Soit $S = \{ x \in \mathbb{R} \mid \begin{pmatrix} 1 & x 0 & 1 \end{pmatrix} \in \overline{G} \}$ . $S$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}, +)$ car $\overline{G}$ est un groupe. De plus, $S$ est fermé car c'est l'image réciproque de $\overline{G}$ par l'application continue $x \mapsto \begin{pmatrix} 1 & x 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Comme $S$ contient la suite $(\frac{1}{2} 3^{2k})_{k \in \mathbb{Z}}$ qui converge vers $0$ quand $k \to -\infty$ , $S$ n'est pas de la forme $a\mathbb{Z}$ . Ainsi, $S$ est dense dans $\mathbb{R}$ , et comme il est fermé :

\boxed{S = \mathbb{R}}

4. Conclusion.

Nous avons montré que $\overline{G}$ contient toutes les transvections $\begin{pmatrix} 1 & x 0 & 1 \end{pmatrix}$ et toutes les matrices diagonales $\begin{pmatrix} a & 0 0 & a^{-1} \end{pmatrix}$ pour $a \in \mathbb{R}_+^*$ .

Par produit de ces éléments, pour tout $a > 0$ et tout $b \in \mathbb{R}$ :

\begin{pmatrix} a & 0 0 & a^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a^{-1}b 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b 0 & a^{-1} \end{pmatrix} \in \overline{G}

L'adhérence est donc exactement le groupe des matrices triangulaires supérieures à coefficients diagonaux strictement positifs :

\boxed{\overline{G} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b 0 & a^{-1} \end{pmatrix} : a \in \mathbb{R}_+^*, b \in \mathbb{R} \right\}}

Attention à ne pas oublier la condition $a > 0$ . Les matrices $A$ et $B$ ont des coefficients diagonaux positifs, donc tout produit de ces matrices conservera des coefficients diagonaux positifs. L'adhérence ne peut donc pas contenir de matrices avec $a < 0$ .