Petits sous-groupes du groupe linéaire

)$ proches de l'identité}

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On munit $V = \mathbb{C}^n$ de sa norme hermitienne canonique $\|\cdot\|_2$ et $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ de la norme d'opérateur associée, notée $|||\cdot|||$ . Soit $G$ un sous-groupe de $GL_n(\mathbb{C})$ .

On suppose dans cette question que $G$ $G$ est un sous-groupe borné de $GL_n(\mathbb{C})$ $G L_{n} (C)$ .
1. Soit $M \in G$ . Montrer que le spectre de $M$ est inclus dans le cercle unité $\mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C}, |z|=1\}$ .
2. Montrer que tout élément $M \in G$ est diagonalisable.
On suppose désormais que $G \subset B(I_n, r)$ $G \subset B (I_{n}, r)$ où $B(I_n, r) = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), |||M - I_n||| < r\}$ $B (I_{n}, r) = {M \in M_{n} (C), ∣∣∣ M - I_{n} ∣∣∣ < r}$ .
1. Si $r = \sqrt{2}$ , montrer que $G = \{I_n\}$ .
2. Montrer que ce résultat subsiste si l'on prend $r = \sqrt{3}$ .
3. La valeur $r = \sqrt{3}$ est-elle optimale ?

1.

Pour la question 1, remarquer que si $M \in G$ , alors pour tout $k \in \mathbb{Z}$ , $M^k \in G$ . Utiliser la croissance des puissances d'une matrice non diagonalisable ou de rayon spectral différent de 1.

2.

Pour la question 2, analyser la position des valeurs propres sur le cercle unité. Si $\lambda$ est une valeur propre de $M \in G$ , alors pour tout $k \in \mathbb{Z}$ , $\lambda^k$ doit rester dans un certain arc du cercle unité.

3.

Pour l'optimalité, chercher un sous-groupe fini dont les éléments sont à distance exactement $\sqrt{3}$ de l'identité (penser aux racines de l'unité).

Idées clés

•

Lien entre bornitude des puissances et réduction (diagonalisabilité).

•

Analyse géométrique du spectre sur le cercle unité $\mathbb{U}$ .

•

Utilisation de l'argument de densité des sous-groupes de $(\mathbb{R}, +)$ ou des racines de l'unité.

Résolution.

1. Soit $M \in G$ . Puisque $G$ est un groupe, pour tout $k \in \mathbb{N}$ , $M^k \in G$ . De plus, $M$ est inversible et $M^{-1} \in G$ , donc $M^{-k} \in G$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ . $G$ étant borné, il existe $C > 0$ tel que pour tout $k \in \mathbb{Z}$ , $|||M^k||| \leq C$ . Si $\lambda \in \text{Sp}(M)$ , il existe un vecteur $X \neq 0$ tel que $MX = \lambda X$ . On a alors $M^k X = \lambda^k X$ , d'où $|\lambda|^k \|X\|_2 = \|M^k X\|_2 \leq |||M^k||| \cdot \|X\|_2$ . On en déduit : $\forall k \in \mathbb{Z}, |\lambda|^k \leq C$ En testant $k \to +\infty$ , on obtient $|\lambda| \leq 1$ . En testant $k \to -\infty$ , on obtient $|\lambda| \geq 1$ . D'où le résultat : $\boxed{\text{Sp}(M) \subset \mathbb{U}}$
2. Supposons $M$ non diagonalisable. Son polynôme minimal possède une racine $\lambda \in \mathbb{U}$ de multiplicité $m \geq 2$ . En considérant la décomposition de Dunford $M = D+N$ (ou une forme réduite), il existe un vecteur $V$ tel que $(M-\lambda I_n)V \neq 0$ mais $(M-\lambda I_n)^2 V = 0$ . Par la formule du binôme (car $I_n$ et $M-\lambda I_n$ commutent) : $M^k V = (\lambda I_n + (M-\lambda I_n))^k V = \lambda^k V + k \lambda^{k-1} (M-\lambda I_n)V$ En utilisant l'inégalité triangulaire inverse : $\|M^k V\|_2 \geq |k| \cdot |\lambda|^{k-1} \|(M-\lambda I_n)V\|_2 - |\lambda|^k \|V\|_2$ Comme $|\lambda|=1$ , le terme de gauche est équivalent à $k \|(M-\lambda I_n)V\|_2$ quand $k \to +\infty$ . La suite $(M^k)$ ne serait donc pas bornée, ce qui contredit $G$ borné. $\boxed{M \text{ est diagonalisable}}$
1. Soit $M \in G$ . D'après la question 1, $M$ est diagonalisable et ses valeurs propres sont de module 1. Soit $\lambda = e^{i\theta}$ une valeur propre de $M$ . Comme $M^k \in G \subset B(I_n, \sqrt{2})$ , on a $|||M^k - I_n||| < \sqrt{2}$ . Le rayon spectral $\rho(M^k - I_n)$ est majoré par la norme d'opérateur. Ainsi : $\forall k \in \mathbb{Z}, |\lambda^k - 1| < \sqrt{2}$ Géométriquement, cela signifie que toutes les puissances de $\lambda$ doivent rester dans l'arc ouvert du cercle unité situé à une distance strictement inférieure à $\sqrt{2}$ du point $1$ . Cet arc correspond à $\text{Re}(\lambda^k) > 0$ . Si $\theta \neq 0 \pmod{2\pi}$ , la suite $(k\theta \pmod{2\pi})$ finira par sortir de l'intervalle $]-\pi/2, \pi/2[$ . En effet, si $\frac{\theta}{2\pi} \notin \mathbb{Q}$ , l'ensemble $\{e^{ik\theta}, k \in \mathbb{Z}\}$ est dense dans $\mathbb{U}$ . Si $\theta = 2\pi \frac{p}{q}$ (forme irréductible), le groupe engendré par $\lambda$ est le groupe des racines $q$ -ièmes $\mu_q$ . Si $q \geq 2$ , la somme des racines est nulle, donc elles ne peuvent pas toutes avoir une partie réelle strictement positive. On en déduit que $\lambda = 1$ . La seule valeur propre de $M$ est 1. Comme $M$ est diagonalisable : $\boxed{M = I_n}$
2. On suit le même raisonnement. La condition $|\lambda^k - 1| < \sqrt{3}$ $∣ λ^{k} - 1∣ < 3$ impose à $\lambda^k$ $λ^{k}$ de rester dans l'arc :
  $\text{Arg}(\lambda^k) \in ]-2\pi/3, 2\pi/3[ \pmod{2\pi}$
  Si $\lambda = e^{i\theta} \neq 1$ $λ = e^{i θ} \neq = 1$ , alors par le même argument de densité ou de structure des sous-groupes finis du cercle, il existe un $k$ $k$ tel que $\lambda^k$ $λ^{k}$ sorte de cet arc. Par exemple, si $\lambda$ $λ$ est une racine primitive $q$ $q$ -ième de l'unité avec $q \geq 3$ $q \geq 3$ :
  - Si $q=3$ , $\lambda = e^{2i\pi/3}$ , alors $|\lambda - 1| = \sqrt{3}$ , ce qui est exclu par l'hypothèse (boule ouverte).
  - Si $q > 3$ , on peut toujours trouver une puissance de $\lambda$ "loin" de 1.
  Ainsi, la seule valeur propre possible est 1, et par diagonalisabilité, $M=I_n$ $M = I_{n}$ .
  $\boxed{G = \{I_n\}}$
3. Pour l'optimalité, considérons $n=1$ (ou $G$ formé de matrices scalaires). Soit $\omega = e^{2i\pi/3}$ . Le groupe $G = \{1, \omega, \omega^2\}$ est un sous-groupe de $GL_1(\mathbb{C})$ . On a $|\omega - 1| = \sqrt{3}$ et $|\omega^2 - 1| = \sqrt{3}$ . Ainsi, $G \subset \overline{B}(1, \sqrt{3})$ . Cependant, dès que l'on considère la boule ouverte de rayon $\sqrt{3}$ , le seul sous-groupe possible est $\{I_n\}$ . La valeur $\sqrt{3}$ est donc la borne supérieure exacte. $\boxed{\text{La valeur } \sqrt{3} \text{ est optimale}}$

Attention à bien justifier la diagonalisabilité. Le fait que les valeurs propres soient de module 1 ne suffit pas à dire qu'une matrice est bornée (pensez aux blocs de Jordan). C'est la bornitude des puissances qui impose la diagonalisabilité.