Sous-groupes discrets et groupes de matrices

Soit $G$ un sous-groupe de $(\mathbb{C}, +)$ qui est discret et non réduit à $\{0\}$ .

On suppose qu'il existe $\gamma \in \mathbb{C}^*$ $γ \in C^{*}$ tel que l'on ait l'égalité d'ensembles $\gamma G = G$ $γ G = G$ .
1. En considérant un élément non nul de $G$ de module minimal, démontrer que $|\gamma| = 1$ et que $\gamma$ est une racine de l'unité.
2. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\gamma^k \neq 1$ , on a l'inégalité $|\gamma^k - 1| \ge 1$ .
3. En déduire que l'ordre de la racine de l'unité $\gamma$ appartient à l'ensemble $\{1, 2, 3, 4, 6\}$ . La réciproque est-elle vraie ?
On considère les matrices de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ suivantes : $T = \begin{pmatrix} 1 & 1 0 & 1 \end{pmatrix} \text{et} D_\lambda = \begin{pmatrix} \lambda & 0 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix}$ où $\lambda \in \mathbb{C}^*$ . On note $G_\lambda$ le sous-groupe de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ engendré par $\{T, D_\lambda\}$ . À quelle condition sur $\lambda$ le groupe $G_\lambda$ est-il un sous-groupe discret de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ ?

1.

Pour la question 1.(a), l'existence d'un élément de module minimal est assurée par la discrétion de $G$ . Pour montrer que $\gamma$ est une racine de l'unité, on peut raisonner sur le caractère fini de l'orbite d'un tel élément.

2.

Pour la question 1.(c), utiliser l'interprétation géométrique de $|\gamma^k - 1| \ge 1$ sur le cercle unité ou passer par les fonctions trigonométriques. Le lien avec le degré du polynôme cyclotomique $\phi(n) \le 2$ est également une piste élégante.

3.

Pour la question 2, observer que si $G_\lambda$ est discret, alors toute suite d'éléments de $G_\lambda$ convergeant vers l'identité doit être stationnaire. Étudier les conjugués $D_\lambda^n T D_\lambda^{-n}$ .

Idées clés

•

Propriété des sous-groupes discrets de $(\mathbb{C}, +)$ : ce sont des réseaux de rang 1 ou 2.

•

Stabilité par multiplication et structure de $\mathbb{Z}[\gamma]$ -module.

•

Lien entre discrétion dans $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ et discrétion des paramètres des transvections.

1. Étude du sous-groupe discret $G$ .

1. Puisque $G$ est un sous-groupe discret non nul de $\mathbb{C}$ , l'ensemble $\{|z| : z \in G \setminus \{0\}\}$ est une partie de $\mathbb{R}_+^*$ discrète et minorée. Elle admet donc un plus petit élément $m > 0$ . Soit $z_0 \in G$ tel que $|z_0| = m$ .
  L'hypothèse $\gamma G = G$ implique que $\gamma z_0 \in G$ . Par minimalité de $m$ , on a $|\gamma z_0| \ge m$ , d'où $|\gamma| \ge 1$ . De même, $\gamma^{-1} G = G$ implique $\gamma^{-1} z_0 \in G$ , donc $|\gamma^{-1}| \ge 1$ , soit $|\gamma| \le 1$ .
  On en conclut :
  $\boxed{|\gamma| = 1}$
  Considérons la suite $(\gamma^n z_0)_{n \in \mathbb{N}}$ . Tous ses éléments sont dans $G$ et ont pour module $m$ . Comme $G$ est discret, l'intersection de $G$ avec le cercle $\{z \in \mathbb{C} : |z|=m\}$ est un ensemble fini. Par conséquent, la suite $(\gamma^n z_0)$ ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs. Il existe donc $p < q$ tels que $\gamma^p z_0 = \gamma^q z_0$ , d'où $\gamma^{q-p} = 1$ . $\gamma$ est donc une racine de l'unité.
2. Soit $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\gamma^k \neq 1$ . Comme $z_0 \in G$ et $\gamma^k G = G$ , on a $\gamma^k z_0 \in G$ . Par structure de groupe, $\gamma^k z_0 - z_0 \in G$ . Comme $\gamma^k \neq 1$ et $z_0 \neq 0$ , on a $(\gamma^k - 1) z_0 \neq 0$ .
  Par définition de $m = |z_0|$ , on a :
  $|(\gamma^k - 1) z_0| \ge |z_0|$ En simplifiant par $|z_0| > 0$ , on obtient : $\boxed{|\gamma^k - 1| \ge 1}$
3. Notons $n$ l'ordre de $\gamma$ et écrivons $\gamma = e^{i\theta}$ avec $\theta = \frac{2\pi}{n}$ . L'inégalité $|\gamma - 1| \ge 1$ se traduit par $|e^{i\theta} - 1| \ge 1$ , soit $2\sin(\frac{\pi}{n}) \ge 1$ , d'où $\sin(\frac{\pi}{n}) \ge \frac{1}{2}$ . Ceci impose $\frac{\pi}{n} \ge \frac{\pi}{6}$ (car $n \ge 1$ ), donc $n \le 6$ .
  Testons les valeurs de $n \in \{1, \dots, 6\}$ : - $n=1, 2, 3, 4, 6$ : On vérifie facilement que pour tout $k$ non multiple de $n$ , $|\gamma^k - 1| \ge 1$ . Par exemple pour $n=6$ , $\theta = \pi/3$ , les angles $k\theta$ possibles (modulo $2\pi$ ) sont $\pi/3, 2\pi/3, \pi, 4\pi/3, 5\pi/3$ , dont les sinus des moitiés sont $\ge 1/2$ . - $n=5$ : Pour $k=1$ , $2\sin(\pi/5) \approx 1,17 \ge 1$ . Mais pour $k=2$ , l'angle est $2\theta = 4\pi/5$ . Oh, en fait l'argument de la question précédente limite $n$ , mais il faut vérifier toutes les puissances. Un argument plus structurel : $G$ est un $\mathbb{Z}$ -module de rang $d \in \{1, 2\}$ . Comme $G$ est stable par $\gamma$ , c'est un $\mathbb{Z}[\gamma]$ -module. Le degré de l'extension $[\mathbb{Q}(\gamma) : \mathbb{Q}] = \phi(n)$ doit donc être inférieur ou égal au rang de $G$ . On doit avoir $\phi(n) \le 2$ , ce qui donne $n \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$ .
  Réciproque : Si $n \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$ , alors le réseau $G = \mathbb{Z}[\gamma]$ est un sous-groupe discret de $\mathbb{C}$ stable par multiplication par $\gamma$ . La réciproque est vraie.

2. Discrétion de $G_\lambda$ .

Supposons $G_\lambda$ discret. Considérons la suite de matrices de $G_\lambda$ définie par :

M_n = D_\lambda^n T D_\lambda^{-n} = \begin{pmatrix} \lambda^n & 0 0 & \lambda^{-n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda^{-n} & 0 0 & \lambda^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \lambda^{2n} 0 & 1 \end{pmatrix}

Si $|\lambda| < 1$ , alors $M_n \to I_2$ quand $n \to +\infty$ . Si $|\lambda| > 1$ , alors $M_n \to I_2$ quand $n \to -\infty$ . Dans les deux cas, la discrétion de $G_\lambda$ imposerait $M_n = I_2$ à partir d'un certain rang, ce qui est impossible car $\lambda \neq 0$ . On a donc $\boxed{|\lambda| = 1}$ .

Soit alors $H = \{ z \in \mathbb{C} : \begin{pmatrix} 1 & z 0 & 1 \end{pmatrix} \in G_\lambda \}$ . $H$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}, +)$ car il est l'image de $G_\lambda \cap \text{Unipotent}$ par l'application morphisme $\begin{pmatrix} 1 & z 0 & 1 \end{pmatrix} \mapsto z$ . Comme $T \in G_\lambda$ , $1 \in H$ , donc $H \neq \{0\}$ . Comme $G_\lambda$ est discret, $H$ est un sous-groupe discret de $\mathbb{C}$ .

De plus, si $z \in H$ , alors pour tout $k \in \mathbb{Z}$ :

D_\lambda^k \begin{pmatrix} 1 & z 0 & 1 \end{pmatrix} D_\lambda^{-k} = \begin{pmatrix} 1 & \lambda^{2k} z 0 & 1 \end{pmatrix} \in G_\lambda

Ainsi

\lambda^2 H = H

. D'après la question 1,

\lambda^2

doit être une racine de l'unité d'ordre

n \in \{1, 2, 3, 4, 6\}

.

Cela signifie que $\lambda$ est une racine de l'unité d'ordre $k$ tel que l'ordre de $\lambda^2$ , qui est $\frac{k}{\text{pgcd}(k,2)}$ , soit dans $\{1, 2, 3, 4, 6\}$ . Les valeurs possibles pour $k$ sont $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12\}$ .

L'erreur classique est d'oublier que si $|\lambda|=1$ , le groupe $G_\lambda$ n'est pas forcément discret. Il faut que l'orbite de la transvection par les puissances de la diagonale reste dans un ensemble discret, ce qui impose que $\lambda$ soit une racine de l'unité bien spécifique.