Formule de Molien pour les invariants

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ . On note $V = \mathbb{C}[X_1, \dots, X_n]$ l'anneau des polynômes à $n$ indéterminées. Pour tout $k \in \mathbb{N}$ , on désigne par $E_k$ le sous-espace vectoriel de $V$ constitué des polynômes homogènes de degré $k$ .

Le groupe $G$ agit sur $E_k$ de la manière suivante : pour tout $g \in G$ et tout $P \in E_k$ , on définit l'application $g \cdot P$ par :

\forall x \in \mathbb{C}^n,   (g \cdot P)(x) = P(g^{-1}x)

On note $\alpha_k(G)$ la dimension du sous-espace des polynômes invariants sous cette action, c'est-à-dire :

E_k^G = \{ P \in E_k \mid \forall g \in G, g \cdot P = P \}

Montrer que pour tout complexe $z$ tel que $|z| < 1$ , on a l'égalité suivante :

\sum_{k=0}^{+\infty} \alpha_k(G) z^k = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \frac{1}{\det(I_n - zg)}

1.

Exprimer $\alpha_k(G)$ comme la trace d'un projecteur bien choisi sur l'espace $E_k$ .

2.

Utiliser le fait que tout élément $g \in G$ est diagonalisable dans $\mathbb{C}$ pour calculer la trace de l'action de $g$ sur $E_k$ .

3.

Identifier la série génératrice des traces comme un produit de séries géométriques.

Idées clés

•

Utilisation du projecteur de Reynolds : l'application $\Pi_k = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \rho_k(g)$ est un projecteur sur $E_k^G$ .

•

Relation $\dim(\mathrm{Im}(\Pi_k)) = \mathrm{Tr}(\Pi_k)$ .

•

Diagonalisation des éléments d'un groupe fini et calcul de trace sur l'espace des polynômes.

1. Expression de la dimension par la trace.

Pour chaque $k \in \mathbb{N}$ , on définit la représentation $\rho_k : G \to \mathrm{GL}(E_k)$ par $\rho_k(g)(P) = g \cdot P$ . Considérons l'endomorphisme $\Pi_k$ de $E_k$ défini par :

\Pi_k = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \rho_k(g)

On vérifie classiquement que $\Pi_k$ est un projecteur sur le sous-espace des invariants $E_k^G$ . En effet, pour tout $P \in E_k^G$ , $\rho_k(g)(P) = P$ , donc $\Pi_k(P) = P$ . Réciproquement, pour tout $h \in G$ , $\rho_k(h) \circ \Pi_k = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \rho_k(hg) = \Pi_k$ par changement de variable $g' = hg$ . Ainsi, l'image de $\Pi_k$ est exactement $E_k^G$ .

La dimension d'un sous-espace image d'un projecteur est égale à sa trace :

\boxed{\alpha_k(G) = \mathrm{Tr}(\Pi_k) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \mathrm{Tr}(\rho_k(g))}

2. Calcul de la trace de l'action de $g$ .

Soit $g \in G$ . Puisque $G$ est un groupe fini, l'élément $g$ est d'ordre fini. Par conséquent, $g$ est diagonalisable dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ . Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ ses valeurs propres (comptées avec multiplicité).

Il existe une base $(L_1, \dots, L_n)$ de $E_1$ (l'espace des formes linéaires) telle que $L_j \circ g^{-1} = \lambda_j^{-1} L_j$ . Une base de $E_k$ est alors formée par les monômes $P_{\mathbf{i}} = L_1^{i_1} \dots L_n^{i_n}$ où $\mathbf{i} = (i_1, \dots, i_n) \in \mathbb{N}^n$ tel que $\sum_{j=1}^n i_j = k$ .

L'action de $g$ sur ces monômes est donnée par :

\rho_k(g)(P_{\mathbf{i}}) = (L_1 \circ g^{-1})^{i_1} \dots (L_n \circ g^{-1})^{i_n} = \lambda_1^{-i_1} \dots \lambda_n^{-i_n} P_{\mathbf{i}}

La trace de $\rho_k(g)$ est la somme de ses valeurs propres sur $E_k$ :

\mathrm{Tr}(\rho_k(g)) = \sum_{i_1 + \dots + i_n = k} \lambda_1^{-i_1} \dots \lambda_n^{-i_n}

Remarquons que l'ensemble des inverses des valeurs propres de $g$ est l'ensemble des valeurs propres de $g^{-1}$ . Comme on somme sur tout le groupe $G$ , et que l'application $g \mapsto g^{-1}$ est une bijection de $G$ dans $G$ , on peut simplifier la somme finale. Cependant, restons sur la trace de $g$ avec ses valeurs propres propres $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ . Par un argument identique, si $\text{Sp}(g) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_n\}$ , alors :

\mathrm{Tr}(\rho_k(g)) = \sum_{i_1 + \dots + i_n = k} \lambda_1^{i_1} \dots \lambda_n^{i_n}

3. Sommation de la série génératrice.

Considérons la série formelle (ou la série entière pour $|z|$ petit) :

\sum_{k=0}^{+\infty} \mathrm{Tr}(\rho_k(g)) z^k = \sum_{k=0}^{+\infty} \left( \sum_{i_1 + \dots + i_n = k} \lambda_1^{i_1} \dots \lambda_n^{i_n} \right) z^k

Par produit de Cauchy de $n$ séries géométriques, on reconnaît :

\sum_{k=0}^{+\infty} \mathrm{Tr}(\rho_k(g)) z^k = \left( \sum_{i_1=0}^{+\infty} (\lambda_1 z)^{i_1} \right) \dots \left( \sum_{i_n=0}^{+\infty} (\lambda_n z)^{i_n} \right)

\sum_{k=0}^{+\infty} \mathrm{Tr}(\rho_k(g)) z^k = \prod_{j=1}^n \frac{1}{1 - \lambda_j z}

Or, le polynôme caractéristique de $zg$ est $P_{zg}(X) = \det(XI_n - zg)$ . En particulier, $\det(I_n - zg) = \prod_{j=1}^n (1 - z\lambda_j)$ . On obtient :

\boxed{\sum_{k=0}^{+\infty} \mathrm{Tr}(\rho_k(g)) z^k = \frac{1}{\det(I_n - zg)}}

4. Conclusion.

En sommant sur $G$ et en échangeant les sommes (licite par convergence absolue pour $|z|<1$ ) :

\sum_{k=0}^{+\infty} \alpha_k(G) z^k = \sum_{k=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \mathrm{Tr}(\rho_k(g)) \right) z^k

\sum_{k=0}^{+\infty} \alpha_k(G) z^k = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \left( \sum_{k=0}^{+\infty} \mathrm{Tr}(\rho_k(g)) z^k \right)

En injectant le résultat précédent :

\boxed{\sum_{k=0}^{+\infty} \alpha_k(G) z^k = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \frac{1}{\det(I_n - zg)}}

Attention à l'ordre des opérations. L'action est définie sur les polynômes via l'inverse $g^{-1}$ pour assurer que $(gh) \cdot P = g \cdot (h \cdot P)$ . Si on oublie l'inverse, l'action n'est pas "à gauche" au sens strict, mais cela n'affecte pas la trace globale sur le groupe car $g$ et $g^{-1}$ parcourent le même ensemble.