Déterminants possibles et polynômes annulateurs

Soit $n$ un entier naturel non nul. On se propose de déterminer l'ensemble des valeurs possibles du déterminant d'une matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ dans chacun des cas suivants :

La matrice $A$ vérifie l'équation : $A^{3} - A = 6 I_{n}$ .
La matrice $A$ vérifie l'équation : $A^{3} + A = 6 I_{n}$ .

1.

Commencer par identifier les racines complexes des polynômes annulateurs $P_1(X) = X^3 - X - 6$ et $P_2(X) = X^3 + X - 6$ .

2.

Utiliser le fait que le spectre de $A$ (dans $\mathbb{C}$ ) est inclus dans l'ensemble des racines du polynôme annulateur.

3.

Exploiter la réalité de la matrice $A$ : si $\lambda$ est une valeur propre complexe non réelle, alors son conjugué $\bar{\lambda}$ est également valeur propre avec la même multiplicité.

4.

Exprimer le déterminant comme le produit des valeurs propres comptées avec leur multiplicité dans $\mathbb{C}$ .

Idées clés

•

Lien entre racines d'un polynôme annulateur et valeurs propres.

•

Structure du polynôme caractéristique d'une matrice réelle (paires de racines conjuguées).

•

Relation entre déterminant et produit des racines du polynôme caractéristique.

Résolution de la question 1.

Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ telle que $A^{3} - A - 6 I_{n} = 0$ . Le polynôme $P_1(X) = X^3 - X - 6$ est un polynôme annulateur de $A$ . Les valeurs propres complexes de $A$ sont nécessairement des racines de $P_1$ .

Cherchons les racines de $P_1$ . On remarque que $P_1(2) = 8 - 2 - 6 = 0$ . On peut donc factoriser $P_1$ par $(X-2)$ :

P_1(X) = (X-2)(X^2 + 2X + 3)

Le discriminant du trinôme $X^2 + 2X + 3$ est $\Delta = 2^2 - 4 \times 3 = -8 < 0$ . Les racines de ce trinôme sont $\lambda = -1 + i\sqrt{2}$ et $\bar{\lambda} = -1 - i\sqrt{2}$ . L'ensemble des valeurs propres possibles de $A$ dans $\mathbb{C}$ est donc $\{2, \lambda, \bar{\lambda}\}$ .

Soit $\chi_A$ le polynôme caractéristique de $A$ . Puisque $A$ est une matrice réelle, les racines complexes non réelles de $\chi_A$ sont conjuguées et ont la même multiplicité. Notons $n_1$ la multiplicité de la valeur propre $2$ , et $m$ la multiplicité commune des racines $\lambda$ et $\bar{\lambda}$ . On a la relation sur la dimension :

n_1 + 2m = n   \text{avec}   n_1, m \in \mathbb{N}

Le déterminant de $A$ est le produit des racines de $\chi_A$ comptées avec multiplicité :

\det(A) = 2^{n_1} \cdot (\lambda \cdot \bar{\lambda})^m

Calculons le produit $\lambda \bar{\lambda} = |\lambda|^2 = (-1)^2 + (\sqrt{2})^2 = 3$ . On obtient :

\det(A) = 2^{n_1} \cdot 3^m = 2^{n-2m} \cdot 3^m

Réciproquement, pour tout $m \in \{0, \dots, \lfloor n/2 \rfloor\}$ , on peut construire une matrice diagonale par blocs (en utilisant la valeur propre $2$ et des blocs de rotation ou des matrices compagnons pour les racines complexes) ayant ce déterminant.

L'ensemble recherché est donc :

\boxed{ \mathcal{D}_1 = \left\{ 2^{n-2m} \cdot 3^m \mid m \in \left\{0, 1, \dots, \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \right\} \right\} }

Résolution de la question 2.

Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ telle que $A^{3} + A - 6 I_{n} = 0$ . On pose $P_2(X) = X^3 + X - 6$ . La fonction $f : x \mapsto x^3 + x - 6$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ car $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ admet une unique racine réelle $\alpha$ . On observe que $f(1) = -4 < 0$ et $f(2) = 4 > 0$ , donc $\alpha \in ]1, 2[$ .

Le polynôme $P_2$ se factorise sous la forme $P_2(X) = (X-\alpha)(X^2 + \alpha X + \beta)$ . Par identification du terme constant, on a $-\alpha \beta = -6$ , d'où $\beta = \frac{6}{\alpha}$ . Les racines complexes de $X^2 + \alpha X + \frac{6}{\alpha}$ sont notées $z$ et $\bar{z}$ . Le produit de ces racines est $z\bar{z} = |z|^2 = \frac{6}{\alpha}$ .

Vérifions que $z \notin \mathbb{R}$ . Le discriminant du trinôme est $\Delta = \alpha^2 - 4\frac{6}{\alpha} = \frac{\alpha^3 - 24}{\alpha}$ . Comme $\alpha^3 + \alpha = 6$ , on a $\alpha^3 = 6 - \alpha$ . Ainsi $\Delta = \frac{6 - \alpha - 24}{\alpha} = \frac{-18 - \alpha}{\alpha} < 0$ car $\alpha > 0$ . Les racines $z$ et $\bar{z}$ sont bien complexes non réelles.

En notant $n_1$ la multiplicité de $\alpha$ et $m$ celle de $z$ (et $\bar{z}$ ), on a $n_1 + 2m = n$ et :

\det(A) = \alpha^{n_1} \cdot \left( \frac{6}{\alpha} \right)^m = \alpha^{n-2m} \cdot \frac{6^m}{\alpha^m} = \alpha^{n-3m} \cdot 6^m

L'ensemble des valeurs possibles est donc :

\boxed{ \mathcal{D}_2 = \left\{ \alpha^{n-3m} \cdot 6^m \mid m \in \left\{0, 1, \dots, \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \right\} \right\} }

Ne pas oublier que la matrice est réelle. Si elle était complexe, les multiplicités des racines complexes ne seraient pas nécessairement égales, et le déterminant pourrait prendre bien plus de valeurs.