Déterminant et équation polynomiale matricielle

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'ensemble des matrices $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ satisfaisant la relation :

A^{3} + A = 6 I_{n}

L'objectif est de déterminer l'ensemble des valeurs possibles pour le déterminant de telles matrices.

1.

Introduire le polynôme $P(X) = X^3 + X - 6$ et étudier ses racines dans $\mathbb{C}$ .

2.

Utiliser le fait que les valeurs propres de $A$ sont nécessairement des racines de ce polynôme.

3.

Exploiter la réalité de la matrice $A$ pour obtenir des informations sur la multiplicité des racines complexes non réelles dans le polynôme caractéristique.

4.

Exprimer le déterminant comme le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité.

Idées clés

•

Lien entre polynôme annulateur et spectre d'un endomorphisme.

•

Propriété des racines du polynôme caractéristique d'une matrice réelle.

•

Relation entre le déterminant et le produit des valeurs propres (comptées avec multiplicité dans $\mathbb{C}$ ).

1. Étude du polynôme annulateur.

Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ telle que $A^3 + A - 6 I_n = 0$ . Le polynôme $P(X) = X^3 + X - 6$ est un polynôme annulateur de $A$ .

L'ensemble des valeurs propres de $A$ dans $\mathbb{C}$ , noté $\text{Sp}_{\mathbb{C}}(A)$ , est inclus dans l'ensemble des racines de $P$ .

Étudions les variations de la fonction réelle $f : x \mapsto x^3 + x - 6$ sur $\mathbb{R}$ . Sa dérivée est $f'(x) = 3x^2 + 1$ .

Comme $f'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

D'après le théorème de la bijection, $f$ s'annule exactement une fois sur $\mathbb{R}$ . Notons $\alpha$ cette unique racine réelle. On remarque que $f(1) = -4$ et $f(2) = 4$ , donc $\alpha \in ]1, 2[$ .

Puisque $P$ est de degré 3, il possède trois racines dans $\mathbb{C}$ . Notons-les $\alpha, z, \bar{z}$ , où $z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ car il n'y a qu'une racine réelle.

D'après les relations entre racines et coefficients, le produit des racines vaut :

\alpha \cdot z \cdot \bar{z} = 6

On en déduit la relation suivante pour le module au carré de $z$ :

\boxed{ |z|^2 = z\bar{z} = \frac{6}{\alpha} }

2. Structure du spectre et du déterminant.

Soit $\chi_A$ le polynôme caractéristique de $A$ . Puisque $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ , $\chi_A$ est à coefficients réels.

Si $z$ est une racine de $\chi_A$ de multiplicité $m$ , alors $\bar{z}$ est aussi racine de $\chi_A$ avec la même multiplicité $m$ .

Soit $k$ la multiplicité de la racine réelle $\alpha$ dans $\chi_A$ . La somme des multiplicités des racines dans $\mathbb{C}$ est égale au degré de $\chi_A$ , soit $n$ . On a donc :

n = k + 2m

Le déterminant de $A$ est le produit des racines de $\chi_A$ comptées avec multiplicité :

\det(A) = \alpha^k \cdot (z \bar{z})^m = \alpha^k \cdot |z|^{2m}

En remplaçant $|z|^2$ par $6/\alpha$ , on obtient :

\det(A) = \alpha^k \cdot \left( \frac{6}{\alpha} \right)^m

En utilisant la relation $k = n - 2m$ , on peut simplifier l'expression du déterminant :

\det(A) = \alpha^{n-2m} \cdot 6^m \cdot \alpha^{-m}

Ce qui donne finalement :

\boxed{ \det(A) = \alpha^{n-3m} \cdot 6^m }

3. Synthèse des valeurs possibles.

La seule contrainte sur l'entier $m$ est qu'il doit satisfaire $0 \le 2m \le n$ , soit $0 \le m \le \lfloor n/2 \rfloor$ .

Pour chaque valeur de $m$ dans cet intervalle, on peut construire une matrice réelle (par blocs) ayant ces valeurs propres, car il existe des matrices réelles de taille 2 ayant pour valeurs propres $z$ et $\bar{z}$ .

L'ensemble des valeurs possibles pour le déterminant est :

\boxed{ \mathcal{D} = \left\{ \alpha^{n-3m} 6^m \mid m \in \left\{ 0, 1, \dots, \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \right\} \right\} }

où $\alpha$ est l'unique racine réelle de $X^3 + X - 6 = 0$ .

L'erreur classique est d'oublier que les racines complexes d'un polynôme réel sont toujours conjuguées deux à deux avec la même multiplicité. Sans cette remarque, on ne peut pas restreindre les valeurs possibles du déterminant.