Trace rationnelle et racines de l'unité

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère une matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ satisfaisant la relation :

I_n + A + A^{2} + A^{3} + A^{4} = 0

Démontrer que la trace de la matrice $A$ est un nombre rationnel si, et seulement si, l'entier $n$ est un multiple de $4$ .

1.

Identifier le polynôme annulateur $P(X) = 1+X+X^2+X^3+X^4$ et déterminer ses racines complexes (racines cinquièmes de l'unité).

2.

Utiliser la diagonalisabilité de $A$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ pour exprimer la trace en fonction des multiplicités des valeurs propres.

3.

Exploiter le fait que $A$ est une matrice réelle : ses valeurs propres complexes non réelles sont conjuguées deux à deux avec la même multiplicité.

4.

Pour la condition suffisante, utiliser une matrice compagnon ou une structure par blocs.

Idées clés

•

Polynômes annulateurs et spectre complexe.

•

Diagonalisabilité sur $\mathbb{C}$ (racines simples).

•

Propriété des matrices réelles : $\lambda \in \text{Sp}(A) \iff \bar{\lambda} \in \text{Sp}(A)$ .

•

Valeurs remarquables de $\cos(2\pi/5)$ et $\cos(4\pi/5)$ .

1. Analyse du polynôme annulateur.

Soit $P(X) = 1 + X + X^2 + X^3 + X^4$ . On remarque que pour tout $X \neq 1$ :

P(X) = \frac{X^5 - 1}{X - 1}

Les racines de $P$ dans $\mathbb{C}$ sont les racines cinquièmes de l'unité privées de 1 :

\omega = e^{i\frac{2\pi}{5}},   \omega^2,   \omega^3 = \bar{\omega}^2,   \omega^4 = \bar{\omega}

Puisque $P(A) = 0$ et que $P$ possède 4 racines distinctes dans $\mathbb{C}$ , la matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

De plus, le spectre de $A$ , noté $\text{Sp}(A)$ , est nécessairement inclus dans l'ensemble des racines de $P$ :

\text{Sp}(A) \subseteq \{ \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4 \}

2. Relation entre multiplicités et trace.

Soient $k_1, k_2, k_3, k_4$ les multiplicités respectives de $\omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4$ en tant que valeurs propres de $A$ . La matrice $A$ étant réelle, ses valeurs propres non réelles apparaissent par paires conjuguées avec la même multiplicité. On en déduit :

k_1 = k_4   \text{et}   k_2 = k_3

La dimension de l'espace est la somme des multiplicités :

\boxed{n = 2k_1 + 2k_2}

La trace de $A$ est la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité :

\text{Tr}(A) = k_1 \omega + k_2 \omega^2 + k_2 \bar{\omega}^2 + k_1 \bar{\omega}

\text{Tr}(A) = k_1 (\omega + \bar{\omega}) + k_2 (\omega^2 + \bar{\omega}^2)

En utilisant les formules d'Euler, on obtient :

\text{Tr}(A) = 2k_1 \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) + 2k_2 \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)

3. Utilisation des valeurs trigonométriques.

On rappelle les valeurs classiques (ou on les retrouve via $X^2+X-1=0$ ) :

\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}   \text{et}   \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) = \frac{-\sqrt{5}-1}{4}

En injectant ces valeurs dans l'expression de la trace :

\text{Tr}(A) = 2k_1 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) + 2k_2 \left(\frac{-\sqrt{5}-1}{4}\right)

\text{Tr}(A) = \frac{(k_1 - k_2)\sqrt{5} - (k_1 + k_2)}{2}

4. Condition de rationalité.

La trace est rationnelle si et seulement si le coefficient devant $\sqrt{5}$ est nul (car $\sqrt{5} \notin \mathbb{Q}$ ).

\text{Tr}(A) \in \mathbb{Q} \iff k_1 - k_2 = 0 \iff k_1 = k_2

Dans ce cas, l'expression de $n$ devient :

n = 2k_1 + 2k_1 = 4k_1

Ceci démontre que si la trace est rationnelle, alors

4

divise

n

.

5. Réciproque et construction.

Supposons que $n = 4k$ avec $k \in \mathbb{N}^*$ . Considérons la matrice compagnon $C$ du polynôme $P(X) = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$ :

C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})

On sait que $P(C) = 0$ et $\text{Tr}(C) = -1 \in \mathbb{Q}$ . En posant $A$ la matrice diagonale par blocs composée de $k$ blocs identiques à $C$ :

A = \text{diag}(C, C, \dots, C)

Alors $A \in \mathcal{M}_{4k}(\mathbb{R})$ , $P(A) = 0$ et sa trace est :

\boxed{\text{Tr}(A) = k \cdot \text{Tr}(C) = -k \in \mathbb{Q}}

L'équivalence est ainsi démontrée.

Ne pas oublier que même si $P(A)=0$ , les 4 racines ne sont pas forcément toutes valeurs propres de $A$ . Cependant, pour une matrice réelle, la conjugaison impose des contraintes fortes sur leurs multiplicités respectives.