Trace et racines cinquièmes de l'unité

Résolution.

1. Le polynôme $P(X) = \sum_{k=0}^4 X^k$ est un polynôme annulateur de $M$. Ses racines sont les racines 5-ièmes de l'unité excepté 1 :
   $$\operatorname{Sp}(M) \subset \{ \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4 \}   \text{où } \omega = e^{\frac{2i\pi}{5}}$$
   Ces racines sont distinctes, donc $P$ est à racines simples. Ainsi, $M$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$. Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ les valeurs propres de $M$ (comptées avec multiplicité). On a :
   $$\operatorname{Tr}(M) = \sum_{j=1}^n \lambda_j$$
   Par l'inégalité triangulaire :
   $$|\operatorname{Tr}(M)| \leq \sum_{j=1}^n |\lambda_j|$$
   Or, chaque $\lambda_j$ est une racine 5-ième de l'unité, donc $|\lambda_j| = 1$. D'où :
   $$\boxed{|\operatorname{Tr}(M)| \leq n}$$

2. Le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire $|\sum \lambda_j| = \sum |\lambda_j|$ impose que tous les complexes $\lambda_j$ non nuls aient le même argument. Comme ils sont tous de module 1, cela signifie qu'ils sont tous égaux :
   $$\lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = \lambda \in \{ \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4 \}$$
   Puisque $M$ est diagonalisable, elle est semblable à $\lambda I_n$, donc $M = \lambda I_n$. L'ensemble des matrices recherché est :
   $$\boxed{\mathcal{S} = \{ \omega I_n, \omega^2 I_n, \omega^3 I_n, \omega^4 I_n \}}$$

3. 1. Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Son polynôme caractéristique est à coefficients réels. Si $\lambda \in \mathbb{C}$ est une valeur propre de $M$, alors $\bar{\lambda}$ est aussi valeur propre avec la même multiplicité. Ici, les valeurs propres possibles sont $\omega, \bar{\omega}=\omega^4, \omega^2, \bar{\omega}^2=\omega^3$. Soit $p$ la multiplicité de $\omega$ (et donc de $\omega^4$) et $q$ la multiplicité de $\omega^2$ (et donc de $\omega^3$). La dimension totale de l'espace est la somme des multiplicités :
      $$\boxed{n = 2p + 2q}$$
      Ceci prouve que $n$ est pair.

   2. La trace s'écrit alors :
      $$\operatorname{Tr}(M) = p(\omega + \bar{\omega}) + q(\omega^2 + \bar{\omega}^2) = 2p \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) + 2q \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)$$
      En utilisant les valeurs classiques $\cos(2\pi/5) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ and $\cos(4\pi/5) = \frac{-\sqrt{5}-1}{4}$, on obtient :
      $$\boxed{\operatorname{Tr}(M) = p \frac{\sqrt{5}-1}{2} - q \frac{\sqrt{5}+1}{2}}   \text{avec } p+q = n/2$$

   3. Dans le cas réel, pour avoir $|\operatorname{Tr}(M)| = n$, il faudrait que toutes les valeurs propres soient égales (d'après la question 2). Or, si $M$ est réelle, ses valeurs propres non réelles viennent par paires de conjugués distincts (car $\omega^k \notin \mathbb{R}$). Il est donc impossible que toutes les valeurs propres soient égales à un même $\omega^k$. Par conséquent, le cas d'égalité est impossible si $n > 0$.