Existence d'une matrice sous contraintes polynomiales

On considère un entier naturel $n \in \mathbb{N}^*$ . On cherche à déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles il existe une matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ satisfaisant les trois conditions suivantes :

$A^{5}-2 A^{4}-2 A^{3}+A^{2}+4 A+4 I_{n}=0$
$\operatorname{Tr}\left(A^{3}\right)=0$
$\operatorname{det}(A)=1$

1.

Commencer par factoriser le polynôme annulateur $P(X) = X^5 - 2X^4 - 2X^3 + X^2 + 4X + 4$ dans $\mathbb{R}[X]$ puis dans $\mathbb{C}[X]$ .

2.

Utiliser le fait que les valeurs propres (complexes) de $A$ sont nécessairement des racines de ce polynôme.

3.

Traduire les conditions sur la trace de $A^3$ et le déterminant de $A$ en termes de multiplicités des valeurs propres, en n'oubliant pas que $A$ est une matrice réelle.

Idées clés

•

Lien entre racines d'un polynôme annulateur et spectre.

•

Propriétés des matrices réelles (les valeurs propres non réelles sont conjuguées deux à deux).

•

Expressions de la trace et du déterminant en fonction des valeurs propres.

1. Factorisation du polynôme annulateur.

Soit $P(X) = X^5 - 2X^4 - 2X^3 + X^2 + 4X + 4$ . On cherche des racines évidentes. On remarque que $P(-1) = -1 - 2 + 2 + 1 - 4 + 4 = 0$ . En dérivant, $P'(X) = 5X^4 - 8X^3 - 6X^2 + 2X + 4$ , on a $P'(-1) = 5 + 8 - 6 - 2 + 4 = 9 \neq 0$ . Ainsi, $-1$ est une racine simple. La division euclidienne donne :

P(X) = (X+1)(X^4 - 3X^3 + X^2 + 4)

Soit $Q(X) = X^4 - 3X^3 + X^2 + 4$ . On teste $X=2$ : $Q(2) = 16 - 24 + 4 + 4 = 0$ . On a $Q'(X) = 4X^3 - 9X^2 + 2X$ , donc $Q'(2) = 32 - 36 + 4 = 0$ . Ainsi, $2$ est racine au moins double de $Q$ . On trouve :

Q(X) = (X-2)^2 (X^2 + X + 1)

Les racines de $X^2+X+1$ sont $j = e^{2i\pi/3}$ et $\overline{j} = j^2$ . Finalement :

\boxed{P(X) = (X+1)(X-2)^2(X-j)(X-j^2)}

2. Analyse des valeurs propres.

Soit $\text{Sp}_{\mathbb{C}}(A)$ le spectre de $A$ dans $\mathbb{C}$ . Comme $P(A)=0$ , les valeurs propres de $A$ sont incluses dans l'ensemble des racines de $P$ : $\{-1, 2, j, j^2\}$ . Puisque $A$ est une matrice réelle, si $j$ est valeur propre de multiplicité $n_j$ , alors sa conjuguée $j^2$ est aussi valeur propre avec la même multiplicité $n_j$ . Notons $n_{-1}$ la multiplicité de $-1$ et $n_2$ celle de $2$ . La dimension de la matrice impose :

\boxed{n = n_{-1} + n_2 + 2n_j}

3. Utilisation des conditions sur le déterminant et la trace.

La condition $\det(A)=1$ s'écrit comme le produit des valeurs propres (avec multiplicité) :

\det(A) = (-1)^{n_{-1}} \cdot 2^{n_2} \cdot (j \cdot j^2)^{n_j} = (-1)^{n_{-1}} 2^{n_2} = 1

Comme $n_2 \in \mathbb{N}$ , la seule possibilité pour que $2^{n_2}$ soit une puissance de $-1$ est $n_2 = 0$ . Il reste $(-1)^{n_{-1}} = 1$ , ce qui impose que $n_{-1}$ soit pair.

\boxed{n_2 = 0   \text{et}   n_{-1} \in 2\mathbb{N}}

La condition $\text{Tr}(A^3)=0$ s'exprime via les valeurs propres de $A^3$ . Si $\lambda \in \text{Sp}(A)$ , alors $\lambda^3 \in \text{Sp}(A^3)$ . Ici : $(-1)^3 = -1$ , $j^3 = 1$ et $(j^2)^3 = 1$ . Ainsi :

\text{Tr}(A^3) = n_{-1}(-1) + 2n_j(1) = 0 \implies \boxed{n_{-1} = 2n_j}

4. Conclusion sur $n$ .

En injectant ces résultats dans l'expression de $n$ :

n = n_{-1} + 0 + 2n_j = 2n_j + 2n_j = 4n_j

Ainsi, $n$ doit être un multiple de 4.

5. Synthèse (existence).

Si $n = 4k$ avec $k \geq 1$ , on peut construire une matrice par blocs. Il suffit de trouver une matrice $B$ d'ordre 4 vérifiant les conditions avec $n_{-1}=2$ and $n_j=1$ . Soit $C = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}$ la matrice de rotation d'angle $2\pi/3$ , dont le polynôme caractéristique est $X^2+X+1$ . On pose $B = \text{diag}(-1, -1, C)$ . On vérifie immédiatement : $\det(B) = (-1)^2 \cdot 1 = 1$ , $\text{Tr}(B^3) = 2(-1)^3 + \text{Tr}(I_2) = -2 + 2 = 0$ , et $P(B)=0$ car son polynôme minimal $(X+1)(X^2+X+1)$ divise $P$ . En prenant $k$ blocs identiques à $B$ , on obtient une matrice $A$ pour tout $n$ multiple de 4.

\boxed{\text{La condition nécessaire et suffisante est } n \equiv 0 \pmod 4, \ n > 0}

Ne pas oublier que pour une matrice réelle, les multiplicités des valeurs propres complexes non réelles sont égales ( $n_j = n_{\overline{j}}$ ). Sans cette étape, le lien entre $n$ et $n_j$ serait incorrect.