Polynômes et matrices à trace entière

Soit $n$ un entier naturel non nul. On cherche à déterminer l'ensemble des polynômes $P \in \mathbb{C}[X]$ tels que, pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ , la condition $P(A) = 0$ implique que la trace de $A$ est un entier relatif.

1.

Commencer par écarter les cas où $P$ est un polynôme constant.

2.

Pour un polynôme $P$ non constant, utiliser des matrices diagonales particulières dont les éléments diagonaux sont des racines de $P$ .

3.

Se souvenir que si $A$ annule $P$ , alors toutes les valeurs propres de $A$ sont nécessairement des racines de $P$ .

4.

Étudier d'abord le cas où $A$ est une matrice scalaire, puis le cas où $A$ possède deux valeurs propres distinctes.

Idées clés

•

Lien entre spectre d'une matrice et racines d'un polynôme annulateur.

•

Utilisation de matrices diagonales pour obtenir des conditions nécessaires sur les racines.

•

Linéarité de la trace.

Analyse.

Soit $P$ un polynôme répondant à la question.

1. Cas des polynômes constants.

Si $P = 0$ , alors pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , on a $P(A) = 0$ . Cependant, la trace d'une matrice quelconque n'est pas toujours un entier. Par exemple, $\operatorname{tr}(\frac{1}{2} I_n) = \frac{n}{2}$ , qui n'est pas forcément dans $\mathbb{Z}$ . Ainsi, $P=0$ ne convient pas.

Si $P = c$ avec $c \in \mathbb{C}^*$ , alors l'équation $P(A) = 0$ n'admet aucune solution dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . L'implication

P(A) = 0 \implies \operatorname{tr}(A) \in \mathbb{Z}

est alors techniquement vraie (l'antécédent est toujours faux). Toutefois, dans le cadre classique des exercices de réduction, on s'intéresse aux polynômes possédant au moins une racine.

2. Recherche d'une condition nécessaire sur les racines.

Supposons désormais $\operatorname{deg}(P) \geqslant 1$ . Soit $\mathcal{R}$ l'ensemble des racines de $P$ dans $\mathbb{C}$ .

Soit $\alpha \in \mathcal{R}$ . Considérons la matrice scalaire $A = \alpha I_n$ . On a $P(A) = P(\alpha) I_n = 0_n$ . Par hypothèse, la trace de $A$ doit être entière, d'où :

\operatorname{tr}(A) = n \alpha \in \mathbb{Z}

Il existe donc un entier $u \in \mathbb{Z}$ tel que $\alpha = \frac{u}{n} + k$ avec $k \in \mathbb{Z}$ . Cela signifie que toutes les racines de $P$ sont dans $\frac{1}{n}\mathbb{Z}$ .

Soient maintenant $\alpha$ et $\beta$ deux racines de $P$ (éventuellement identiques). Considérons la matrice diagonale suivante :

A = \operatorname{diag}(\beta, \alpha, \alpha, \dots, \alpha)

Puisque $\alpha$ et $\beta$ sont racines de $P$ , on vérifie immédiatement que $P(A) = 0$ . La condition sur la trace impose :

\operatorname{tr}(A) = \beta + (n-1)\alpha \in \mathbb{Z}

En utilisant le fait que $n\alpha \in \mathbb{Z}$ (établi précédemment), nous pouvons écrire :

\beta - \alpha = (\beta + (n-1)\alpha) - n\alpha

Comme la différence de deux entiers est un entier, on en déduit :

\boxed{ \beta - \alpha \in \mathbb{Z} }

Ainsi, toutes les racines de $P$ sont congrues entre elles modulo 1. Il existe donc $\alpha_0 \in \mathbb{C}$ tel que toute racine $\lambda$ de $P$ vérifie $\lambda \in \alpha_0 + \mathbb{Z}$ , avec la contrainte supplémentaire $n \alpha_0 \in \mathbb{Z}$ .

Synthèse.

Soit $P$ un polynôme non constant dont toutes les racines sont de la forme $\frac{u}{n} + k$ pour un certain $u \in \mathbb{Z}$ fixé et des $k \in \mathbb{Z}$ variables.

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $P(A) = 0$ . Le polynôme $P$ est scindé sur $\mathbb{C}$ . D'après le cours, toute valeur propre $\lambda_i$ de $A$ est une racine de $P$ .

Ainsi, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ , il existe $k_i \in \mathbb{Z}$ tel que :

\lambda_i = \frac{u}{n} + k_i

Calculons la trace de $A$ :

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i = \sum_{i=1}^n \left( \frac{u}{n} + k_i \right)

Par linéarité de la somme :

\operatorname{tr}(A) = n \cdot \frac{u}{n} + \sum_{i=1}^n k_i = u + \sum_{i=1}^n k_i

Comme $u$ et les $k_i$ sont des entiers, leur somme est un entier. La condition est donc suffisante.

Conclusion.

Les polynômes $P$ non constants solutions sont ceux dont l'ensemble des racines est inclus dans une partie de la forme :

\boxed{ \mathcal{S}_u = \left\{ \frac{u}{n} + k \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \text{ pour un } u \in \mathbb{Z} }

Ne pas oublier que la condition $P(A)=0$ n'implique pas que $A$ est diagonalisable. Cependant, même si $A$ n'est pas diagonalisable, sa trace est toujours la somme de ses valeurs propres (comptées avec multiplicité), et ces valeurs propres sont obligatoirement des racines de tout polynôme annulateur.