Signe du déterminant et polynômes annulateurs

Soit $n$ un entier naturel tel que $n \geq 3$ . On s'intéresse aux polynômes $P \in \mathbb{R}[X]$ possédant la propriété suivante : toute matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ satisfaisant $P(A)=0$ possède un déterminant strictement positif.

Déterminer l'ensemble des polynômes $P$ vérifiant cette condition.

1.

Rappeler le lien entre les racines du polynôme annulateur $P$ et les valeurs propres (complexes) d'une matrice $A$ .

2.

Utiliser le fait que pour une matrice réelle, les valeurs propres non réelles sont conjuguées deux à deux.

3.

Étudier l'influence de la parité de $n$ sur le signe du produit des valeurs propres réelles.

4.

Pour la réciproque, construire des matrices diagonales par blocs (en utilisant des scalaires pour les racines réelles et des blocs de rotation/similitude $2 \times 2$ pour les racines complexes).

Idées clés

•

Le spectre complexe $\text{Sp}_{\mathbb{C}}(A)$ est inclus dans l'ensemble des racines de tout polynôme annulateur $P$ .

•

Le déterminant est le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité : $\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i$ .

•

Les racines non réelles du polynôme caractéristique d'une matrice réelle sont conjuguées.

Résolution.

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ . Notons $\mathcal{R}$ l'ensemble des racines de $P$ dans $\mathbb{C}$ . Si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifie $P(A)=0$ , alors son spectre complexe est inclus dans $\mathcal{R}$ :

\text{Sp}_{\mathbb{C}}(A) \subset \mathcal{R}

Le polynôme caractéristique $\chi_A$ est à coefficients réels. Ses racines non réelles sont donc deux à deux conjuguées. Notons $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ les valeurs propres réelles (comptées avec multiplicité) et $(z_1, \bar{z}_1, \dots, z_p, \bar{z}_p)$ les valeurs propres complexes non réelles. On a la relation $n = k + 2p$ . Le déterminant de $A$ s'écrit :

\det(A) = \left( \prod_{j=1}^k \lambda_j \right) \times \left( \prod_{m=1}^p z_m \bar{z}_m \right) = \left( \prod_{j=1}^k \lambda_j \right) \times \left( \prod_{m=1}^p |z_m|^2 \right)

Puisque $\prod |z_m|^2 > 0$ , le signe de $\det(A)$ est celui de $\prod_{j=1}^k \lambda_j$ .

1. Recherche de conditions nécessaires.

Supposons que $P$ possède la propriété demandée.

$0$ ne peut pas être racine de $P$ . En effet, si $P(0)=0$ , la matrice nulle $A=0$ vérifie $P(A)=0$ , mais $\det(A)=0 \ngtr 0$ .
Si $n$ est impair : Supposons que $P$ possède une racine réelle $r < 0$ . On peut alors considérer la matrice $A = r I_n$ . On a $P(A) = P(r) I_n = 0$ . Cependant, $\det(A) = r^n$ . Comme $n$ est impair et $r < 0$ , on a $\det(A) < 0$ , ce qui contredit l'hypothèse. Ainsi, si $n$ est impair, $P$ n'a aucune racine dans $]-\infty, 0]$ .
Si $n$ est pair : Supposons que $P$ possède une racine réelle $r_1 < 0$ et une racine réelle $r_2 > 0$ . On peut construire une matrice $A = \text{diag}(r_1, r_2, \dots, r_2) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . $A$ annule $P$ car chaque bloc scalaire annule $P$ . Le déterminant est $\det(A) = r_1 r_2^{n-1}$ . Comme $n-1$ est impair, $\det(A) < 0$ , ce qui est exclu. Par conséquent, si $n$ est pair, les racines réelles de $P$ doivent toutes être de même signe.

2. Analyse de la réciproque et synthèse.

Cas $n$ impair : La condition nécessaire est que $P$ n'a que des racines réelles strictement positives. Réciproquement, si toutes les racines réelles de $P$ sont $>0$ , alors pour toute matrice $A$ telle que $P(A)=0$ , ses valeurs propres réelles $\lambda_j$ (s'il en existe) sont des racines réelles de $P$ , donc $\lambda_j > 0$ . Le produit $\prod \lambda_j$ est alors strictement positif. Note : si $n$ est impair, une matrice réelle possède toujours au moins une valeur propre réelle, donc $k \geq 1$ .

\boxed{ \text{Si } n \text{ est impair, } \text{Racines}_{\mathbb{R}}(P) \subset ]0, +\infty[ }

Cas $n$ pair : Les conditions nécessaires sont : $0$ n'est pas racine, et toutes les racines réelles ont le même signe.

Si toutes les racines réelles de $P$ sont $>0$ , alors $\det(A) > 0$ comme précédemment.
Si toutes les racines réelles de $P$ sont $<0$ , alors $k$ (le nombre de v.p. réelles) est pair car $k = n - 2p$ et $n$ est pair. Le produit de $k$ termes strictement négatifs est alors strictement positif.
Si $P$ n'a aucune racine réelle, alors $k=0$ et $\det(A) = \prod |z_m|^2 > 0$ .

\boxed{ \text{Si } n \text{ est pair, } \text{Racines}_{\mathbb{R}}(P) \subset ]0, +\infty[ \text{ ou } \text{Racines}_{\mathbb{R}}(P) \subset ]-\infty, 0[ }

Il ne faut pas oublier le cas où $P$ n'a aucune racine réelle. Dans ce cas, l'ensemble des matrices $A$ annulant $P$ peut être vide (si $n$ est impair) ou ne contenir que des matrices sans valeurs propres réelles (si $n$ est pair). Dans les deux cas, la condition sur le déterminant est respectée.