Invariance du polynôme minimal par extension

Soient $\mathbb{K}$ et $\mathbb{L}$ deux corps tels que $\mathbb{K} \subset \mathbb{L}$ .

On considère une matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .

On note $\mu_{\mathbb{K}}$ le polynôme minimal de $A$ lorsqu'elle est vue comme une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ , et $\mu_{\mathbb{L}}$ son polynôme minimal lorsqu'elle est vue comme une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{L})$ .

Montrer que ces deux polynômes sont égaux :

\mu_{\mathbb{K}} = \mu_{\mathbb{L}}

1.

Commencer par justifier la relation de divisibilité $\mu_{\mathbb{L}} \mid \mu_{\mathbb{K}}$ dans $\mathbb{L}[X]$ .

2.

Pour montrer l'égalité, on peut s'intéresser au degré du polynôme minimal en le reliant au rang d'une famille de matrices.

3.

Utiliser le fait que le rang d'une famille de vecteurs (ou d'une matrice) est invariant par extension du corps de base.

Idées clés

•

Définition du polynôme minimal comme générateur de l'idéal annulateur.

•

Caractérisation du degré du polynôme minimal par la liberté des puissances de $A$ .

•

Invariance du rang par extension de corps.

Résolution.

Première étape : Une relation de divisibilité. Le polynôme $\mu_{\mathbb{K}}$ appartient à $\mathbb{K}[X]$ . Puisque $\mathbb{K} \subset \mathbb{L}$ , on a aussi $\mu_{\mathbb{K}} \in \mathbb{L}[X]$ . Par définition, $\mu_{\mathbb{K}}(A) = 0$ dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ , donc l'égalité reste vraie dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{L})$ . Ainsi, $\mu_{\mathbb{K}}$ est un polynôme annulateur de $A$ dans $\mathbb{L}[X]$ . Par propriété du polynôme minimal $\mu_{\mathbb{L}}$ dans l'anneau $\mathbb{L}[X]$ , on en déduit que : $\boxed{\mu_{\mathbb{L}} \mid \mu_{\mathbb{K}} \text{dans } \mathbb{L}[X]}$
Cette relation de divisibilité implique immédiatement que :
$\deg(\mu_{\mathbb{L}}) \leq \deg(\mu_{\mathbb{K}})$
Deuxième étape : Égalité des degrés via le rang. Pour tout $m \in \mathbb{N}$ , notons $\mathcal{F}_m = (I_n, A, A^2, \dots, A^m)$ la famille des premières puissances de $A$ . Cette famille est constituée de vecteurs de l'espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ . Le degré du polynôme minimal d'une matrice $A$ sur un corps $F$ est le plus petit entier $d$ tel que la famille $\mathcal{F}_d$ soit liée sur $F$ . Autrement dit, si on note $r_m(F) = \dim_F(\text{Vect}_F(\mathcal{F}_m))$ , alors $\deg(\mu_F)$ est le plus petit entier $d$ tel que $r_d(F) = r_{d-1}(F) = d$ . Or, le rang d'une famille de matrices ne dépend pas du corps de base (car il s'agit du rang d'une matrice dont les colonnes sont les coordonnées des $A^k$ dans la base canonique, et le rang est invariant par extension). Ainsi, pour tout $m$ , on a l'égalité des rangs : $r_m(\mathbb{K}) = r_m(\mathbb{L})$ Le premier entier $d$ pour lequel la famille devient liée est donc le même pour $\mathbb{K}$ et $\mathbb{L}$ . On en déduit l'égalité des degrés : $\boxed{\deg(\mu_{\mathbb{K}}) = \deg(\mu_{\mathbb{L}})}$
Conclusion. Nous avons établi que $\mu_{\mathbb{L}}$ divise $\mu_{\mathbb{K}}$ et que ces deux polynômes ont le même degré. Comme les polynômes minimaux sont par définition unitaires, cette relation de divisibilité entre deux polynômes de même degré entraîne leur égalité : $\boxed{\mu_{\mathbb{K}} = \mu_{\mathbb{L}}}$

Il ne suffit pas de dire que $\mu_{\mathbb{L}}$ est à coefficients dans $\mathbb{K}$ . C'est justement ce que l'on démontre par l'égalité. L'erreur serait de supposer a priori que le polynôme minimal sur $\mathbb{L}$ "retombe" forcément dans $\mathbb{K}[X]$ sans utiliser l'argument du rang ou de la division euclidienne.