Degré local et polynôme minimal

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur $K = \mathbb{C}$ . Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ . On suppose que pour tout $x \in E$ , la famille $(x, u(x), u^2(x))$ est liée.

Montrer qu'il existe un polynôme de degré au plus 2 qui annule $u$ .

1.

Noter $\mu_{u,x}$ le polynôme minimal local en $x$ . L'hypothèse dit que $\forall x, \deg \mu_{u,x} \leq 2$ .

2.

Utiliser le fait qu'il existe un vecteur $e$ tel que $\mu_{u,e} = \mu_u$ si le polynôme minimal est une puissance d'un irréductible, ou généraliser.

Idées clés

•

Relation entre polynôme minimal local et global.

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Existence d'un vecteur dont le polynôme minimal local est le polynôme minimal global.

Résolution.

Soit $\mu_u$ le polynôme minimal de $u$ . On sait qu'il existe un vecteur $e \in E$ tel que le polynôme minimal local en $e$ , noté $\mu_{u,e}$ , soit égal à $\mu_u$ .

Preuve rapide de ce résultat : Soit $\mu_u = P_1^{\alpha_1} \dots P_r^{\alpha_r}$ la décomposition en facteurs irréductibles. D'après le lemme des noyaux, $E = \bigoplus \ker P_i^{\alpha_i}(u)$ .

Dans chaque $E_i = \ker P_i^{\alpha_i}(u)$ , il existe un vecteur $x_i$ tel que $\mu_{u,x_i} = P_i^{\alpha_i}$ (sinon $P_i^{\alpha_i-1}$ annulerait $E_i$ , contredisant la définition du minimal).

En posant $e = x_1 + \dots + x_r$ , par l'indépendance des noyaux, on a :

\mu_{u,e} = \operatorname{ppcm}(\mu_{u,x_1}, \dots, \mu_{u,x_r}) = \prod P_i^{\alpha_i} = \mu_u

Revenons à l'exercice. L'hypothèse stipule que pour tout $x \in E$ , $\dim \operatorname{Vect}(x, u(x), u^2(x)) \leq 2$ .

Cela signifie que le polynôme minimal local $\mu_{u,x}$ est de degré au plus 2.

D'après le résultat rappelé ci-dessus, il existe $e \in E$ tel que :

\mu_u = \mu_{u,e}

Comme $\deg \mu_{u,e} \leq 2$ par hypothèse, on en déduit immédiatement :

\boxed{\deg \mu_u \leq 2}

Il existe donc des scalaires $(a, b, c)$ non tous nuls tels que $au^2 + bu + c \operatorname{id}_E = 0$ .

On ne peut pas juste dire "on prend $x$ tel que $\mu_{u,x} = \mu_u$ " sans l'avoir justifié ou au moins cité comme un théorème du cours (théorème de l'élément cyclique local).