Inversibilité dans l'algèbre engendrée par un endomorphisme

Soient $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $u$ un endomorphisme de $E$ . On note $\mathbb{K}[u]$ la sous-algèbre de $\mathcal{L}(E)$ constituée des polynômes en $u$ .

Soit $P \in \mathbb{K}[X]$ . Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $P$ et le polynôme minimal de $u$ , noté $\mu_u$ , pour que l'endomorphisme $P(u)$ soit inversible.
À quelle condition sur l'endomorphisme $u$ l'ensemble $\mathbb{K}[u] \setminus \{0\}$ est-il inclus dans $\mathrm{GL}(E)$ ?

1.

Pour la question 1, utiliser le fait que $\mathbb{K}[u]$ est une algèbre de dimension finie. Un élément y est inversible dans $\mathcal{L}(E)$ si et seulement s'il est inversible au sein de cette algèbre. Penser à l'identité de Bézout.

2.

Pour la question 2, traduire la condition en termes de structure de l'algèbre $\mathbb{K}[u]$ . Que signifie le fait que tout élément non nul est inversible ? Faire le lien avec la cyclicité de l'idéal annulateur.

Idées clés

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Lien entre inversibilité et polynôme minimal via le théorème de Bézout.

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Structure de corps de l'algèbre $\mathbb{K}[u]$ .

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Propriétés des diviseurs de zéro dans une algèbre de dimension finie.

Résolution.

Soit $\mu_u$ le polynôme minimal de $u$ . C'est le générateur unitaire de l'idéal des polynômes annulateurs de $u$ . Montrons que $P(u) \in \mathrm{GL}(E)$ si et seulement si $P$ et $\mu_u$ sont premiers entre eux.
Condition suffisante : Supposons que $\mathrm{pgcd}(P, \mu_u) = 1$ . D'après le théorème de Bézout, il existe deux polynômes $U$ et $V$ dans $\mathbb{K}[X]$ tels que :
$U P + V \mu_u = 1$ En évaluant cette égalité en $u$ , et puisque $\mu_u(u) = 0$ , on obtient : $U(u) \circ P(u) + V(u) \circ \mu_u(u) = \mathrm{Id}_E$ Ce qui se simplifie en : $\boxed{ U(u) \circ P(u) = \mathrm{Id}_E }$ Comme $U(u)$ et $P(u)$ commutent, $P(u)$ est inversible et son inverse est $U(u)$ .
Condition nécessaire : Supposons que $D = \mathrm{pgcd}(P, \mu_u)$ ne soit pas constant (i.e., $\deg D \ge 1$ ). Alors il existe un polynôme $Q \in \mathbb{K}[X]$ tel que $\mu_u = D Q$ avec $\deg Q < \deg \mu_u$ . Par définition du polynôme minimal, on a $Q(u) \neq 0$ . De plus, comme $D$ divise $P$ , on peut écrire $P = D A$ pour un certain $A \in \mathbb{K}[X]$ . On a alors :
$P(u) \circ Q(u) = A(u) \circ D(u) \circ Q(u) = A(u) \circ \mu_u(u) = 0$ Si $P(u)$ était inversible, en composant par $P(u)^{-1}$ à gauche, on obtiendrait $Q(u) = 0$ , ce qui est exclu. Ainsi, $P(u)$ n'est pas inversible. Conclusion : $\boxed{ P(u) \in \mathrm{GL}(E) \iff \mathrm{pgcd}(P, \mu_u) = 1 }$
La condition $\mathbb{K}[u] \subset \mathrm{GL}(E) \cup \{0\}$ signifie que tout élément non nul de l'algèbre $\mathbb{K}[u]$ est inversible. Cela revient à dire que $\mathbb{K}[u]$ est un corps. D'après la question précédente, un élément $P(u)$ est non inversible si et seulement si $P$ et $\mu_u$ ont un facteur commun non trivial. Supposons que $\mu_u$ soit irréductible. Soit $P(u) \in \mathbb{K}[u]$ tel que $P(u) \neq 0$ . Alors $\mu_u$ ne divise pas $P$ . Comme $\mu_u$ est irréductible, ses seuls diviseurs sont les constantes et ses propres multiples. Le seul diviseur commun à $P$ et $\mu_u$ est donc une constante, d'où $\mathrm{pgcd}(P, \mu_u) = 1$ . Par la question 1, $P(u)$ est inversible. Supposons que $\mu_u$ soit réductible. Il existe $A, B \in \mathbb{K}[X]$ tels que $\mu_u = AB$ avec $1 \le \deg A < \deg \mu_u$ et $1 \le \deg B < \deg \mu_u$ . Alors $A(u) \neq 0$ par définition de $\mu_u$ , mais $A(u)$ possède un facteur commun avec $\mu_u$ (le polynôme $A$ lui-même). D'après la question 1, $A(u)$ n'est pas inversible. Pourtant $A(u) \in \mathbb{K}[u]$ et $A(u) \neq 0$ , ce qui contredit la condition de l'énoncé. Conclusion : $\boxed{ \mathbb{K}[u] \subset \mathrm{GL}(E) \cup \{0\} \iff \mu_u \text{ est irréductible sur } \mathbb{K} }$

Attention à ne pas confondre "irréductible" et "scindé". Si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ , un polynôme peut être irréductible de degré 2 (ex: $X^2+1$ ). Si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ , les seuls polynômes irréductibles sont de degré 1.