Corps d'endomorphismes et irréductibilité

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n \ge 1$ sur un corps $\mathbb{K}$ . On considère un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ dont on note $\pi_u$ le polynôme minimal. On suppose que $\pi_u$ est irréductible dans $\mathbb{K}[X]$ .

Démontrer que l'algèbre $\mathbb{K}[u]$ est un corps pour les lois usuelles.
On suppose dans cette question que $\deg(\pi_u) = n$ . Établir que les seuls sous-espaces vectoriels de $E$ stables par $u$ sont $\{0\}$ et $E$ .

1.

Pour la question 1, utiliser l'isomorphisme entre $\mathbb{K}[X] / (\pi_u)$ et $\mathbb{K}[u]$ ou appliquer le théorème de Bézout.

2.

Pour la question 2, considérer un sous-espace stable $F \neq \{0\}$ et s'intéresser au polynôme minimal de l'endomorphisme induit $u_{|F}$ . Se souvenir que $\deg(\pi_{u_{|F}}) \le \dim(F)$ .

Idées clés

•

Lien entre inversibilité de $P(u)$ et primalité de $P$ avec le polynôme minimal.

•

Propriétés des polynômes minimaux d'endomorphismes induits sur des sous-espaces stables.

•

Inégalité fondamentale : $\deg(\pi_u) \le \dim(E)$ .

1. Structure de corps de $\mathbb{K$ [u] $K [u]$ .}

L'ensemble $\mathbb{K}[u]$ est une sous-algèbre commutative de $\mathcal{L}(E)$ . Pour montrer que c'est un corps, il suffit de prouver que tout élément non nul est inversible dans $\mathbb{K}[u]$ .

Soit $P(u) \in \mathbb{K}[u]$ tel que $P(u) \neq 0$ . Par définition du polynôme minimal $\pi_u$ , cela signifie que $\pi_u$ ne divise pas $P$ .

Comme $\pi_u$ est un polynôme irréductible dans $\mathbb{K}[X]$ , ses seuls diviseurs unitaires sont $1$ et lui-même.

Puisque $\pi_u$ ne divise pas $P$ , le plus grand commun diviseur de $P$ et $\pi_u$ est nécessairement $1$ .

\boxed{\text{pgcd}(P, \pi_u) = 1}

D'après le théorème de Bézout, il existe deux polynômes $A$ et $B$ dans $\mathbb{K}[X]$ tels que :

AP + B\pi_u = 1

En évaluant cette égalité en l'endomorphisme $u$ , nous obtenons :

A(u) \circ P(u) + B(u) \circ \pi_u(u) = \text{Id}_E

Or, par définition du polynôme minimal, on a $\pi_u(u) = 0$ . L'égalité se simplifie en :

\boxed{A(u) \circ P(u) = \text{Id}_E}

Ainsi, $P(u)$ est inversible et son inverse $A(u)$ appartient bien à $\mathbb{K}[u]$ .

L'algèbre $\mathbb{K}[u]$ est donc un corps.

2. Sous-espaces stables.

Supposons que $\deg(\pi_u) = n$ . Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ , tel que $F \neq \{0\}$ .

On note $u_F$ l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$ (la restriction de $u$ à $F$ à valeurs dans $F$ ). Le polynôme minimal de $u_F$ , noté $\pi_{u_F}$ , possède les propriétés suivantes :

Comme $F \neq \{0\}$ , l'endomorphisme $u_F$ est défini sur un espace de dimension au moins 1, donc $\pi_{u_F}$ n'est pas le polynôme nul et $\deg(\pi_{u_F}) \ge 1$ .
Puisque $F$ est stable par $u$ , pour tout polynôme $Q$ , on a $Q(u_F) = Q(u)_{|F}$ . En particulier : $\pi_u(u_F) = \pi_u(u)_{|F} = 0_{|F}$ Ainsi, $\pi_{u_F}$ divise $\pi_u$ dans $\mathbb{K}[X]$ .

Le polynôme $\pi_u$ étant irréductible, ses seuls diviseurs unitaires sont $1$ et $\pi_u$ lui-même.

Comme $\deg(\pi_{u_F}) \ge 1$ , la seule possibilité est que $\pi_{u_F}$ soit égal à $\pi_u$ (à un facteur multiplicatif près). On en déduit :

\deg(\pi_{u_F}) = \deg(\pi_u) = n

Or, nous savons que le degré du polynôme minimal d'un endomorphisme est toujours inférieur ou égal à la dimension de l'espace sur lequel il agit. Pour $u_F$ agissant sur $F$ , cela donne :

\deg(\pi_{u_F}) \le \dim(F)

En réinjectant l'égalité précédente, nous obtenons :

n \le \dim(F)

Comme $F$ est un sous-espace de $E$ , on a aussi $\dim(F) \le n$ . Par conséquent :

\boxed{\dim(F) = n \implies F = E}

Le seul sous-espace stable non nul est donc $E$ .

Attention à ne pas confondre le polynôme minimal de la restriction ( $\pi_{u_{|F}}$ ) et la restriction du polynôme minimal ( $\pi_u(u)_{|F}$ ). Le premier divise toujours le second, mais ils ne sont pas égaux en général.