Structure de l'algèbre engendrée par un endomorphisme

Résolution.

1. Condition pour que $\mathbb{K$[u] soit un corps.}

   Soit $P(u)$ un élément non nul de $\mathbb{K}[u]$. Cela signifie que $P$ n'est pas divisible par $\mu_u$. L'élément $P(u)$ est inversible dans $\mathbb{K}[u]$ si et seulement s'il existe $Q \in \mathbb{K}[X]$ tel que $P(u)Q(u) = \text{Id}_E$. Cette égalité d'endomorphismes est équivalente, par définition du polynôme minimal, à la relation de congruence polynomiale :

   $$P Q \equiv 1 \pmod{\mu_u}$$
   D'après le théorème de Bézout, une telle solution $Q$ existe si et seulement si $P$ et $\mu_u$ sont premiers entre eux :
   $$\text{pgcd}(P, \mu_u) = 1$$
   Ainsi, $\mathbb{K}[u]$ est un corps si et seulement si tout polynôme $P$ non divisible par $\mu_u$ est premier avec $\mu_u$. Cela signifie exactement que $\mu_u$ ne possède aucun diviseur non trivial autre que les constantes.
   $$\boxed{\mathbb{K}[u] \text{ est un corps } \iff \mu_u \text{ est irréductible dans } \mathbb{K}[X]}$$

2. Condition pour que $\mathbb{K$[u] soit un anneau réduit.}

   Un élément $P(u) \in \mathbb{K}[u]$ est nilpotent s'il existe un entier $k \ge 1$ tel que $(P(u))^k = 0$. Par définition du polynôme minimal, cette condition est équivalente à :

   $$\mu_u \text{ divise } P^k$$
   L'anneau est réduit si et seulement si l'implication suivante est vraie pour tout $P \in \mathbb{K}[X]$ :
   $$\mu_u \mid P^k \implies \mu_u \mid P$$
   Décomposons $\mu_u$ en facteurs irréductibles dans $\mathbb{K}[X]$ :
   $$\mu_u = \prod_{i=1}^m Q_i^{\alpha_i}$$
   où les $Q_i$ sont des polynômes irréductibles unitaires distincts et $\alpha_i \ge 1$. Si l'un des exposants $\alpha_i$ est strictement supérieur à 1 (par exemple $\alpha_1 \ge 2$), alors on peut considérer le polynôme $P = \prod_{i=1}^m Q_i$. On a alors $P$ qui n'est pas divisible par $\mu_u$ (car l'exposant de $Q_1$ dans $P$ est 1, alors qu'il est $\ge 2$ dans $\mu_u$). Pourtant, pour $k$ assez grand (par exemple $k = \max \alpha_i$), $\mu_u$ divise $P^k$, donc $P(u)$ est un élément nilpotent non nul. Inversement, si tous les $\alpha_i$ sont égaux à 1, alors $\mu_u$ divise $P^k$ implique que chaque $Q_i$ divise $P^k$. Comme les $Q_i$ sont irréductibles, cela implique par le lemme d'Euclide que chaque $Q_i$ divise $P$. Comme les $Q_i$ sont premiers entre eux deux à deux, leur produit $\mu_u$ divise $P$. Ainsi $P(u)=0$.
   $$\boxed{\mathbb{K}[u] \text{ est réduit } \iff \mu_u \text{ est sans facteur carré}}$$
   Remarque : Sur $\mathbb{C}$, cela équivaut à dire que $u$ est diagonalisable. Sur $\mathbb{R}$, $\mu_u$ peut être un produit de facteurs irréductibles de degré 2 distincts (ex: $X^2+1$), donc $u$ n'est pas forcément diagonalisable.