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Morphismes d'algèbres monogènes

morphismealgèbrepolynôme minimalalgébriquePolynôme minimalIdéal annulateur

Soient xx et yy deux éléments d'une K\mathbb{K}-algèbre A\mathbb{A}, supposés algébriques sur le corps K\mathbb{K}.

À quelle condition nécessaire et suffisante existe-t-il un morphisme de K\mathbb{K}-algèbres σ:K[x]→K[y]\sigma : \mathbb{K}[x] \to \mathbb{K}[y] tel que σ(x)=y\sigma(x) = y ?

1.

Rappeler que tout morphisme de K\mathbb{K}-algèbres σ\sigma est entièrement déterminé par l'image de ses générateurs.

2.

Utiliser la propriété de "bonne définition" : pour que σ(P(x))=P(y)\sigma(P(x)) = P(y) définisse une application, la valeur P(y)P(y) ne doit pas dépendre du choix du polynôme PP tel que P(x)P(x) est un élément donné de K[x]\mathbb{K}[x].

3.

Faire intervenir les polynômes minimaux μx\mu_x et μy\mu_y de xx et yy sur K\mathbb{K}.

Idées clés

•

Caractérisation des éléments d'une algèbre monogène comme images de polynômes.

•

Relation entre noyau de l'évaluation et polynôme minimal.

•

Condition de compatibilité pour définir un morphisme sur une structure quotientée (ou ici, une structure de type K[x]\mathbb{K}[x]).

Analyse du problème.

Soit σ:K[x]→K[y]\sigma : \mathbb{K}[x] \to \mathbb{K}[y] un éventuel morphisme de K\mathbb{K}-algèbres vérifiant σ(x)=y\sigma(x) = y.

Par définition d'un morphisme d'algèbres, σ\sigma est une application linéaire qui respecte le produit et l'unité. On a donc σ(1A)=1A\sigma(1_{\mathbb{A}}) = 1_{\mathbb{A}} et σ(x)=y\sigma(x) = y.

Par une récurrence immédiate, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, on doit avoir :

σ(xn)=yn\sigma(x^n) = y^n

Puis, par linéarité de σ\sigma, pour tout polynôme P=∑k=0dakXk∈K[X]P = \sum_{k=0}^d a_k X^k \in \mathbb{K}[X], on a :

σ(P(x))=σ(∑k=0dakxk)=∑k=0dakσ(xk)=∑k=0dakyk=P(y)\sigma(P(x)) = \sigma\left( \sum_{k=0}^d a_k x^k \right) = \sum_{k=0}^d a_k \sigma(x^k) = \sum_{k=0}^d a_k y^k = P(y)

Ainsi, si σ\sigma existe, il est unique et est nécessairement défini par la relation :

∀P∈K[X],σ(P(x))=P(y)\forall P \in \mathbb{K}[X],   \sigma(P(x)) = P(y)

Condition de validité (Existence).

Pour que cette relation définisse effectivement une application de K[x]\mathbb{K}[x] dans K[y]\mathbb{K}[y], il faut que l'image d'un élément z∈K[x]z \in \mathbb{K}[x] ne dépende pas du représentant PP choisi tel que z=P(x)z = P(x).

Autrement dit, on doit avoir la condition de "bonne définition" suivante :

∀(P,Q)∈K[X]2,P(x)=Q(x)  ⟹  P(y)=Q(y)\forall (P, Q) \in \mathbb{K}[X]^2,   P(x) = Q(x) \implies P(y) = Q(y)

En posant R=P−QR = P - Q, cette condition est équivalente à :

∀R∈K[X],R(x)=0  ⟹  R(y)=0\forall R \in \mathbb{K}[X],   R(x) = 0 \implies R(y) = 0

Lien avec le polynôme minimal.

Notons μx\mu_x le polynôme minimal de xx sur K\mathbb{K} et μy\mu_y celui de yy. L'ensemble des polynômes annulateurs de xx est l'idéal principal engendré par μx\mu_x :

Ann(x)={R∈K[X]∣R(x)=0}=μxK[X]\text{Ann}(x) = \{ R \in \mathbb{K}[X] \mid R(x) = 0 \} = \mu_x \mathbb{K}[X]

La condition précédente s'écrit alors :

Ann(x)⊂Ann(y)\text{Ann}(x) \subset \text{Ann}(y)

Ce qui équivaut, au sens de l'inclusion des idéaux principaux dans K[X]\mathbb{K}[X], à la divisibilité des générateurs :

μy∣μx\boxed{ \mu_y \mid \mu_x }

Conclusion.

Le morphisme σ\sigma existe si et seulement si le polynôme minimal de yy divise le polynôme minimal de xx.

∃σ∈HomK-alg(K[x],K[y]), σ(x)=y  ⟺  μy divise μx dans K[X]\boxed{ \exists \sigma \in \text{Hom}_{\mathbb{K}\text{-alg}}(\mathbb{K}[x], \mathbb{K}[y]),   \sigma(x)=y \iff \mu_y \text{ divise } \mu_x \text{ dans } \mathbb{K}[X] }

On pourrait être tenté de dire que μx=μy\mu_x = \mu_y. C'est la condition pour que σ\sigma soit un isomorphisme. Pour un simple morphisme, seule la divisibilité μy∣μx\mu_y \mid \mu_x est requise (car l'image de 0 doit être 0).