Éléments involutifs de l'algèbre d'une matrice

Résolution.

1. Supposons $M$ diagonalisable.
   1. On sait que la dimension de l'algèbre $\mathbb{C}[M]$ est égale au degré du polynôme minimal de $M$, noté $\mu_M$. Comme $M$ est diagonalisable, son polynôme minimal est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$. Ces racines sont exactement les valeurs propres distinctes de $M$. Notons $p$ le nombre de valeurs propres distinctes de $M$, que l'on appelle $\lambda_1, \dots, \lambda_p$. On a alors $\mu_M = \prod_{i=1}^p (X - \lambda_i)$. Par conséquent :
      $$\boxed{\dim(\mathbb{C}[M]) = p}$$

   2. Un élément $A \in \mathbb{C}[M]$ s'écrit $A = P(M)$ où $P \in \mathbb{C}[X]$. La condition $A^2 = I_n$ équivaut à $P(M)^2 - I_n = 0$, soit $(P^2 - 1)(M) = 0$. Cela signifie que le polynôme minimal $\mu_M$ divise le polynôme $P^2 - 1 = (P-1)(P+1)$. Puisque $\mu_M = \prod_{i=1}^p (X - \lambda_i)$, chaque facteur $(X - \lambda_i)$ doit diviser soit $(P-1)$, soit $(P+1)$, mais pas les deux simultanément car $(P+1) - (P-1) = 2$ (les polynômes $P-1$ et $P+1$ n'ont pas de racine commune). Pour chaque valeur propre $\lambda_i$, on a donc deux choix : $P(\lambda_i) = 1$ ou $P(\lambda_i) = -1$. D'après le théorème d'interpolation de Lagrange, pour n'importe quel choix de valeurs $(\epsilon_1, \dots, \epsilon_p) \in \{-1, 1\}^p$, il existe un unique polynôme $P$ de degré inférieur à $p$ tel que $P(\lambda_i) = \epsilon_i$ pour tout $i$. Ainsi, il y a autant d'éléments dans $I_M$ que de $p$-uplets de signes possibles.
      $$\boxed{\text{card}(I_M) = 2^p}$$

2. Supposons $M$ nilpotente. Soit $A \in I_M$, il existe $P \in \mathbb{C}[X]$ tel que $A = P(M)$. Comme précédemment, $A^2 = I_n$ implique que $\mu_M$ divise $P^2 - 1$. Puisque $M$ est nilpotente, son polynôme minimal est de la forme $\mu_M = X^k$ pour un certain $k \in \{1, \dots, n\}$. On a donc $X^k \mid (P-1)(P+1)$. Les polynômes $Q_1 = P-1$ et $Q_2 = P+1$ sont premiers entre eux dans $\mathbb{C}[X]$ car leur différence est la constante non nulle $2$. Si une puissance d'un polynôme irréductible (ici $X$) divise un produit de deux polynômes premiers entre eux, elle doit diviser l'un des deux. Ainsi, on a soit $X^k \mid P-1$, soit $X^k \mid P+1$. Premier cas : $X^k \mid P-1$. Alors $P(M) = I_n$. Second cas : $X^k \mid P+1$. Alors $P(M) = -I_n$. Réciproquement, $I_n$ et $-I_n$ appartiennent bien à $\mathbb{C}[M]$ (ce sont les images des polynômes constants $1$ et $-1$) et sont des involutions.
   $$\boxed{I_M = \{I_n, -I_n\}}$$

3. Soit $M \in M_n(\mathbb{C})$ une matrice quelconque. Notons $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ ses valeurs propres distinctes. Le polynôme minimal de $M$ se décompose sous la forme $\mu_M = \prod_{i=1}^p (X - \lambda_i)^{m_i}$ avec $m_i \geq 1$. L'application $\Phi : \mathbb{C}[X]/(\mu_M) \to \mathbb{C}[M]$ définie par $P \pmod{\mu_M} \mapsto P(M)$ est un isomorphisme d'algèbres. D'après le théorème des restes chinois, on a l'isomorphisme :
   $$\mathbb{C}[X]/(\mu_M) \cong \prod_{i=1}^p \mathbb{C}[X]/((X - \lambda_i)^{m_i})$$
   Chercher $A \in \mathbb{C}[M]$ tel que $A^2 = I$ revient à chercher les éléments $a = (a_1, \dots, a_p)$ dans le produit tels que $a_i^2 = 1$ pour chaque $i$. Dans chaque algèbre locale $\mathcal{A}_i = \mathbb{C}[X]/((X - \lambda_i)^{m_i})$, l'équation $a_i^2 = 1$ équivaut à dire que le polynôme $(X - \lambda_i)^{m_i}$ divise $P_i^2 - 1 = (P_i-1)(P_i+1)$. Comme $(P_i-1)$ et $(P_i+1)$ sont premiers entre eux, le même raisonnement qu'à la question 2 montre que $(X - \lambda_i)^{m_i}$ doit diviser soit $P_i-1$, soit $P_i+1$. Il y a donc exactement 2 solutions pour chaque composante $a_i$ (à savoir $1$ et $-1$). Comme il y a $p$ composantes indépendantes, le nombre total de solutions est $2^p$.
   $$\boxed{\text{card}(I_M) = 2^p   \text{où } p = \text{card}(\text{Sp}(M))}$$