Structure de l'algèbre des polynômes en u

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) et $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme.

On note $\mathbb{K}[u]$ l'algèbre des polynômes en $u$ , c'est-à-dire le sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ engendré par les puissances de $u$ .

Montrer que l'endomorphisme $u$ est diagonalisable si et seulement s'il existe un entier $d \in \mathbb{N}^*$ tel que l'algèbre $\mathbb{K}[u]$ soit isomorphe, en tant qu'algèbre, à l'algèbre produit $\mathbb{K}^d$ .

1.

Utiliser le morphisme d'évaluation $P \mapsto P(u)$ pour identifier $\mathbb{K}[u]$ à un quotient de $\mathbb{K}[X]$ .

2.

Se souvenir qu'un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.

3.

Appliquer le théorème des restes chinois sur les polynômes.

4.

Pour le sens réciproque, étudier les éléments nilpotents de l'algèbre $\mathbb{K}^d$ .

Idées clés

•

Morphisme d'évaluation et noyau (polynôme minimal).

•

Théorème des restes chinois pour les algèbres de polynômes.

•

Lien entre diagonalisabilité et racines du polynôme minimal.

•

Absence de nilpotents non nuls dans $\mathbb{K}^d$ .

1. Identification de l'algèbre $\mathbb{K$ [u] $K [u]$ .}

Considérons l'application suivante :

\phi : \mathbb{K}[X] \to \mathcal{L}(E),   P \mapsto P(u)

C'est un morphisme d'algèbres dont l'image est par définition $\mathbb{K}[u]$ . D'après le théorème d'isomorphisme, $\text{Im}(\phi) \simeq \mathbb{K}[X] / \text{Ker}(\phi)$ .

Le noyau de $\phi$ est l'idéal des polynômes annulateurs de $u$ , engendré par le polynôme minimal $\pi_u$ . Ainsi, nous avons l'isomorphisme d'algèbres suivant :

\boxed{\mathbb{K}[u] \simeq \mathbb{K}[X] / (\pi_u)}

2. Sens direct : $u$ est diagonalisable $\implies \mathbb{K$ [u] \simeq \mathbb{K}^d $⟹ K [u] ≃ K^{d}$ .}

Supposons $u$ diagonalisable. Alors son polynôme minimal $\pi_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et possède uniquement des racines simples. Notons $\lambda_1, \dots, \lambda_d$ les racines distinctes de $\pi_u$ (qui sont exactement les valeurs propres de $u$ ). On a alors :

\pi_u = \prod_{i=1}^d (X - \lambda_i)

Les polynômes $P_i = X - \lambda_i$ sont deux à deux premiers entre eux. D'après le théorème des restes chinois, on dispose de l'isomorphisme d'algèbres :

\mathbb{K}[X] / \left( \prod_{i=1}^d (X - \lambda_i) \right) \simeq \prod_{i=1}^d \mathbb{K}[X] / (X - \lambda_i)

Or, pour chaque $i$ , l'application $P \mapsto P(\lambda_i)$ induit un isomorphisme :

\mathbb{K}[X] / (X - \lambda_i) \simeq \mathbb{K}

En combinant ces résultats, on obtient l'isomorphisme d'algèbres :

\boxed{\mathbb{K}[u] \simeq \mathbb{K}^d}

3. Sens réciproque : $\mathbb{K$ [u] \simeq \mathbb{K}^d \implies u $K [u] ≃ K^{d} ⟹ u$ est diagonalisable.}

Supposons qu'il existe un isomorphisme d'algèbres $\psi : \mathbb{K}[u] \to \mathbb{K}^d$ .

Étape A : $\pi_u$ est scindé. Si $\pi_u$ possédait un facteur irréductible $Q$ de degré $m \geq 2$ , alors $\mathbb{K}[X]/(\pi_u)$ contiendrait un sous-corps isomorphe à $\mathbb{K}[X]/(Q)$ , qui est une extension de corps de degré $m$ . Or, dans $\mathbb{K}^d$ , tout élément $x = (x_1, \dots, x_d)$ vérifie l'équation polynomiale $\prod_{i=1}^d (x - a_i) = 0$ pour certains scalaires, ce qui n'est pas compatible avec la structure d'un corps de degré $>1$ si $\mathbb{K}$ est algébriquement clos. Plus simplement : $\mathbb{K}^d$ ne contient que des éléments dont le polynôme minimal est scindé.

Étape B : $\pi_u$ est à racines simples. Un élément $x = (x_1, \dots, x_d) \in \mathbb{K}^d$ est nilpotent si et seulement si il existe $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $x^k = 0$ , soit $(x_1^k, \dots, x_d^k) = (0, \dots, 0)$ . Ceci impose $x_i = 0$ pour tout $i$ , donc $x=0$ . L'algèbre $\mathbb{K}^d$ ne possède donc aucun élément nilpotent non nul.

Par isomorphisme, l'algèbre $\mathbb{K}[u]$ ne possède pas non plus d'élément nilpotent non nul. Supposons que $\pi_u$ admette une racine $\lambda$ de multiplicité $m \geq 2$ . On peut écrire $\pi_u = (X-\lambda)^m Q$ avec $Q(\lambda) \neq 0$ . Posons $P = (X-\lambda)Q$ . Alors $P(u) \neq 0$ car $\text{deg}(P) < \text{deg}(\pi_u)$ . Cependant :

P(u)^m = (X-\lambda)^m Q(u)^m = \pi_u(u) Q(u)^{m-1} = 0

Ainsi, $P(u)$ serait un élément nilpotent non nul de $\mathbb{K}[u]$ , ce qui est exclu. Donc toutes les racines de $\pi_u$ sont simples.

Conclusion : $\pi_u$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{K}$ , donc :

\boxed{u \text{ est diagonalisable}}

Attention à ne pas confondre l'isomorphisme d'espaces vectoriels et l'isomorphisme d'algèbres. Deux algèbres peuvent être isomorphes comme espaces vectoriels (même dimension) sans l'être comme algèbres (même produit). Ici, le caractère diagonalisable est encodé dans la structure de produit (absence de nilpotents).