Caractère monogène d'un produit d'algèbres

Résolution.

1. Soient $n = \dim A$ et $m = \dim B$. Puisque $A$ et $B$ sont monogènes, il existe $x \in A$ et $y \in B$ tels que $\deg(\mu_x) = n$ et $\deg(\mu_y) = m$, où $\mu_x$ et $\mu_y$ désignent les polynômes minimaux respectifs de $x$ dans $A$ et $y$ dans $B$. L'algèbre $A \times B$ est de dimension $n+m$. Elle est monogène si et seulement s'il existe un élément $z = (a, b) \in A \times B$ tel que $\deg(\mu_z) = n+m$. Le polynôme minimal de $z = (a, b)$ est donné par :
   $$\mu_{(a,b)} = \text{ppcm}(\mu_a, \mu_b)$$
   Pour obtenir un degré égal à $n+m$, il est nécessaire et suffisant de trouver $a \in A$ et $b \in B$ tels que $\deg(\mu_a) = n$, $\deg(\mu_b) = m$ et $\text{pgcd}(\mu_a, \mu_b) = 1$. Considérons $a = x$ et, pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$, $y_\lambda = y + \lambda \cdot 1_B$. Le polynôme minimal de $y_\lambda$ est $Q_\lambda(X) = \mu_y(X - \lambda)$, qui est bien de degré $m$. Soit $\overline{\mathbb{K}}$ une clôture algébrique de $\mathbb{K}$. Notons $\text{Sp}(x) = \{\alpha_1, \dots, \alpha_n\}$ l'ensemble des racines de $\mu_x$ dans $\overline{\mathbb{K}}$ et $\text{Sp}(y) = \{\beta_1, \dots, \beta_m\}$ celui de $\mu_y$. Les racines de $Q_\lambda$ sont les éléments de la forme $\beta_j + \lambda$. Les polynômes $\mu_x$ et $Q_\lambda$ ont une racine commune si et seulement si :
   $$\exists (i, j) \in \{1,\dots,n\} \times \{1,\dots,m\},   \alpha_i = \beta_j + \lambda \iff \lambda = \alpha_i - \beta_j$$
   Il existe au plus $nm$ valeurs de $\lambda$ dans $\overline{\mathbb{K}}$ (et donc dans $\mathbb{K}$) pour lesquelles $\mu_x$ et $Q_\lambda$ ne sont pas premiers entre eux. Comme $\mathbb{K}$ est supposé infini, on peut choisir $\lambda \in \mathbb{K} \setminus \{ \alpha_i - \beta_j \}$. Pour un tel $\lambda$, on a :
   $$\boxed{\text{pgcd}(\mu_x, Q_\lambda) = 1}$$
   Alors, pour $z = (x, y_\lambda)$, on a $\mu_z = \mu_x \cdot Q_\lambda$, donc :
   $$\boxed{\deg(\mu_z) = n + m = \dim(A \times B)}$$
   L'algèbre $A \times B$ est donc monogène.

2. Le résultat est faux pour un corps fini. Considérons $\mathbb{K} = \mathbb{F}_2 = \{0, 1\}$. Soit $A = \mathbb{K} \times \mathbb{K}$. C'est une $\mathbb{K}$-algèbre de dimension 2. Elle est monogène car l'élément $x = (0, 1)$ a pour polynôme minimal $X(X-1)$, qui est de degré 2. Prenons $B = A = \mathbb{K} \times \mathbb{K}$. Alors $A \times B = \mathbb{K}^4$ est de dimension 4. Tout élément $z = (c_1, c_2, c_3, c_4) \in \mathbb{K}^4$ vérifie $c_i^2 = c_i$ pour tout $i$, car $0^2=0$ et $1^2=1$ dans $\mathbb{F}_2$. Par conséquent, tout élément $z \in A \times B$ annule le polynôme $P(X) = X^2 - X = X(X-1)$. Le polynôme minimal $\mu_z$ divise donc $X^2 - X$. On en déduit :
   $$\forall z \in A \times B,   \deg(\mu_z) \leq 2$$
   Comme $\dim(A \times B) = 4 > 2$, il n'existe aucun élément $z$ dont le polynôme minimal est de degré 4.
   $$\boxed{A \times B \text{ n'est pas monogène.}}$$