Extension de corps et matrice compagnon

Soit $K$ un corps commutatif et $P \in K[X]$ un polynôme unitaire de degré $n \geqslant 2$ . On suppose dans un premier temps que $P$ est irréductible sur $K$ . On note $P = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0$ .

On considère la matrice compagnon $M \in \mathcal{M}_n(K)$ associée à $P$ :

M = \begin{pmatrix} 0 & \dots & \dots & 0 & -a_0 1 & 0 & \dots & 0 & -a_1 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \vdots & \ddots & \ddots & 0 & -a_{n-2} 0 & \dots & 0 & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix}

1. Démontrer que le polynôme minimal de $M$ , noté $\pi_M$ , est égal à $P$ .
2. On considère l'ensemble $K[M] = \{ Q(M) \mid Q \in K[X] \}$ . Montrer que $K[M]$ est une $K$ -algèbre commutative et qu'il s'agit d'un corps pour les lois usuelles.
3. On identifie chaque scalaire $\lambda \in K$ à la matrice $\lambda I_n \in K[M]$ . Justifier que $L = K[M]$ est une extension de $K$ et prouver que $P$ admet au moins une racine dans $L$ .
Soit $P \in K[X]$ un polynôme quelconque non scindé. Montrer qu'il existe une extension $L$ de $K$ telle que $P$ soit scindé sur $L$ .

1.

Pour la question 1(a), on pourra observer l'image des vecteurs de la base canonique par l'endomorphisme associé à $M$ .

2.

Pour la question 1(b), l'irréductibilité de $P$ permet d'utiliser le théorème de Bézout dans $K[X]$ pour trouver un inverse à toute matrice non nulle.

3.

Pour la question 1(c), quel élément de $K[M]$ annule le polynôme $P$ ?

4.

Pour la question 2, procéder par récurrence sur le degré de $P$ en utilisant la construction de la question 1.

Idées clés

•

Lien entre polynôme minimal et matrice compagnon.

•

Structure de corps de $K[u]$ lorsque le polynôme minimal est irréductible.

•

Construction itérative d'extensions (corps de rupture puis corps de décomposition).

Résolution.

1. Soit $(e_1, \dots, e_n)$ la base canonique de $K^n$ . Par définition de la matrice $M$ , on a les relations : $\forall i \in \{1, \dots, n-1\}, M e_i = e_{i+1}$
  On en déduit par une récurrence immédiate que pour tout $k \in \{0, \dots, n-1\}$ :
  $M^k e_1 = e_{k+1}$
  Supposons qu'il existe un polynôme $Q = \sum_{k=0}^{m} b_k X^k$ de degré $m < n$ tel que $Q(M) = 0$ . En appliquant cette relation au vecteur $e_1$ , on obtient :
  $\sum_{k=0}^{m} b_k M^k e_1 = \sum_{k=0}^{m} b_k e_{k+1} = 0$
  La famille $(e_1, \dots, e_{m+1})$ étant libre (car extraite d'une base), on en déduit que tous les coefficients $b_k$ sont nuls. Ainsi, $\deg(\pi_M) \geqslant n$ .
  Par ailleurs, un calcul classique (par développement selon la dernière colonne ou par récurrence) montre que le polynôme caractéristique de $M$ est $\chi_M(X) = P(X)$ . D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $P(M)=0$ .
  Comme $P$ est unitaire, de degré $n$ , et annule $M$ , on conclut :
  $\boxed{\pi_M = P}$
2. $K[M]$ est l'image de l'algèbre $K[X]$ par le morphisme d'évaluation $Q \mapsto Q(M)$ . C'est donc une sous-algèbre de $\mathcal{M}_n(K)$ , et elle est commutative car $K[X]$ l'est. Montrons que tout élément non nul de $K[M]$ est inversible dans $K[M]$ . Soit $A \in K[M] \setminus \{0\}$ . Il existe $Q \in K[X]$ tel que $A = Q(M)$ . Puisque $A \neq 0$ , le polynôme $Q$ n'est pas divisible par le polynôme minimal $\pi_M = P$ . Comme $P$ est irréductible sur $K$ , les seuls diviseurs unitaires de $P$ sont $1$ et $P$ . Le plus grand commun diviseur de $Q$ et $P$ est donc $1$ . D'après le théorème de Bézout, il existe deux polynômes $U, V \in K[X]$ tels que : $UQ + VP = 1$
  En évaluant en $M$ , et puisque $P(M) = 0$ , il vient :
  $U(M)Q(M) + V(M)P(M) = I_n \implies U(M)A = I_n$
  Ainsi, $A$ est inversible et son inverse $U(M)$ appartient bien à $K[M]$ .
  $\boxed{K[M] \text{ est un corps}}$
3. L'application $\phi : \lambda \mapsto \lambda I_n$ est un morphisme de corps de $K$ vers $L = K[M]$ . C'est une injection, ce qui permet d'identifier $K$ à un sous-corps de $L$ . Considérons maintenant le polynôme $P \in K[X]$ comme un élément de $L[X]$ . On cherche un élément $\alpha \in L$ tel que $P(\alpha) = 0$ . Posons $\alpha = M$ . Par construction de $L$ , on a bien $M \in L$ . L'évaluation de $P$ en $M$ donne $P(M)$ , qui est la matrice nulle. Dans le corps $L$ , la matrice nulle est l'élément nul. $\boxed{\text{La matrice } M \in L \text{ est une racine de } P}$
On procède par récurrence sur $n = \deg P$ . Initialisation : Si $n=1$ , $P$ est déjà scindé sur $K$ , donc $L=K$ convient. Hérédité : Supposons la propriété vraie pour tout polynôme de degré $n-1$ . Soit $P \in K[X]$ de degré $n$ . Soit $Q$ un facteur irréductible de $P$ de degré $d \geqslant 2$ (si $P$ n'est pas scindé). D'après la question 1, il existe une extension $K_1$ de $K$ dans laquelle $Q$ admet une racine $\alpha$ . Alors, dans $K_1[X]$ , on peut factoriser $P$ par $(X-\alpha)$ : $P = (X-\alpha) R, \text{avec } R \in K_1[X] \text{ et } \deg R = n-1$
Par hypothèse de récurrence appliquée au corps $K_1$ et au polynôme $R$ , il existe une extension $L$ de $K_1$ telle que $R$ soit scindé sur $L$ . Comme $P = (X-\alpha)R$ , le polynôme $P$ est également scindé sur $L$ . Puisque $L$ est une extension de $K_1$ et $K_1$ une extension de $K$ , $L$ est une extension de $K$ .
$\boxed{\text{Il existe une extension } L \text{ où } P \text{ est scindé}}$

Dans la question 1(b), ne pas oublier de mentionner que $Q$ n'est pas divisible par $P$ . Si $Q(M) \neq 0$ , cela signifie précisément que $\pi_M$ ne divise pas $Q$ . Sans l'irréductibilité de $P$ , on ne pourrait pas affirmer que $\text{pgcd}(Q, P) = 1$ .