Algèbre des endomorphismes de reste

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $E = \mathbb{K}_{n-1}[X]$ où $\mathbb{K}$ est un corps. Soit $A \in \mathbb{K}_{n-1}[X]$ . On définit l'application $\Phi_A$ par :

\forall P \in E,   \Phi_A(P) = (AP) \pmod{X^n - 1}

où le reste est l'unique polynôme de degré strictement inférieur à

n

obtenu par division euclidienne.

Montrer que $\Phi_A$ est un endomorphisme de $E$ .
Déterminer la matrice de $\Phi_A$ dans la base canonique $(1, X, \dots, X^{n-1})$ de $E$ .
On suppose ici $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ $K = C$ .
1. En utilisant les polynômes de Lagrange associés aux racines $n$ -ièmes de l'unité, déterminer les éléments propres de $\Phi_A$ .
2. En déduire que $\Phi_A$ est diagonalisable.
On note $\mathcal{A} = \{ \Phi_A \mid A \in E \}$ . Montrer que $(\mathcal{A}, +, \circ)$ est une algèbre commutative.
Généralisation : On revient à un corps $\mathbb{K}$ quelconque. À quelle condition sur la caractéristique de $\mathbb{K}$ et sur $n$ l'endomorphisme $\Phi_A$ est-il diagonalisable pour tout $A \in E$ (en supposant $X^n-1$ scindé sur $\mathbb{K}$ ) ?

1.

La linéarité découle de la linéarité du reste dans la division euclidienne.

2.

Pour la matrice, calculer $\Phi_A(X^j)$ en distinguant les cas selon le degré de $AX^j$ .

3.

Si $P$ est un vecteur propre pour la valeur propre $\lambda$ , alors $(A-\lambda)P$ est un multiple de $X^n-1$ . Évaluer aux racines de $X^n-1$ .

4.

Pour le cas général, une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples. Étudier les racines multiples de $X^n-1$ .

Idées clés

•

Isomorphisme entre $E$ et l'anneau quotient $\mathbb{K}[X]/(X^n-1)$ .

•

Lien entre diagonalisabilité et racines du polynôme annulateur $X^n-1$ .

Résolution.

Linéarité. Soient $P, Q \in E$ et $\lambda \in \mathbb{K}$ . Par définition de la division euclidienne : $AP = Q_1(X^n-1) + \Phi_A(P)$ et $AQ = Q_2(X^n-1) + \Phi_A(Q)$ . Alors $A(\lambda P + Q) = (\lambda Q_1 + Q_2)(X^n-1) + (\lambda \Phi_A(P) + \Phi_A(Q))$ . Comme $\deg(\lambda \Phi_A(P) + \Phi_A(Q)) < n$ , par unicité du reste : $\boxed{\Phi_A(\lambda P + Q) = \lambda \Phi_A(P) + \Phi_A(Q)}$
Matrice dans la base canonique. Posons $A = \sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k$ . Pour $j \in \{0, \dots, n-1\}$ , on a : $\Phi_A(X^j) = \text{Reste}(AX^j, X^n-1)$ . Or $X^k X^j = X^{k+j}$ . Si $k+j \ge n$ , $X^{k+j} = X^{k+j-n}(X^n-1) + X^{k+j-n}$ . Ainsi $X^{k+j} \equiv X^{k+j \pmod n} \pmod{X^n-1}$ . La matrice obtenue a pour coefficients $m_{i,j} = a_{i-j \pmod n}$ . C'est une matrice circulante.
Éléments propres sur $\mathbb{C$ C.}
1. Soit $\omega$ une racine $n$ -ième de l'unité. Considérons $L_{\omega} \in E$ tel que $L_{\omega}(\omega) = 1$ et $L_{\omega}(\omega') = 0$ pour les autres racines (polynôme de Lagrange). On a $(X^n-1) = \prod_{k=0}^{n-1} (X-\omega_k)$ . Si $\Phi_A(P) = \lambda P$ , alors $AP = Q(X^n-1) + \lambda P$ , donc $(A-\lambda)P = Q(X^n-1)$ . En évaluant en $\omega_k$ , on a $(A(\omega_k) - \lambda)P(\omega_k) = 0$ . Si $P = L_{\omega_k}$ , alors $P(\omega_k) = 1$ et $P(\omega_j) = 0$ pour $j \ne k$ . Alors $\Phi_A(L_{\omega_k}) = A(\omega_k) L_{\omega_k}$ . $\boxed{\text{Spectre}(\Phi_A) = \{ A(\omega_k) \mid k \in \{0, \dots, n-1\} \}}$
2. Les $n$ polynômes de Lagrange $(L_{\omega_0}, \dots, L_{\omega_{n-1}})$ forment une base de $E$ . Comme ce sont des vecteurs propres, $\Phi_A$ est diagonalisable.
Structure d'algèbre. L'application $A \mapsto \Phi_A$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels. De plus, $\Phi_A \circ \Phi_B (P) \equiv A(BP) \equiv (AB)P \equiv \Phi_{AB}(P) \pmod{X^n-1}$ . Comme $AB = BA$ , l'algèbre est commutative.
Cas général. L'endomorphisme $\Phi_X$ (associé à $A=X$ ) a pour polynôme annulateur $X^n-1$ . $\Phi_X$ est diagonalisable si et seulement si $X^n-1$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{K}$ . La dérivée est $nX^{n-1}$ . Les racines sont simples si et seulement si elles ne sont pas racines de la dérivée. Cela impose $n \ne 0$ dans $\mathbb{K}$ . $\boxed{\Phi_A \text{ est toujours diag. } \iff \text{char}(\mathbb{K}) \nmid n}$

Ne pas oublier que la diagonalisabilité dépend de la multiplicité des racines du polynôme minimal. En caractéristique $p$ divisant $n$ , $X^n-1 = (X^{n/p}-1)^p$ , il y a des racines multiples.