Projecteurs et sous-espaces de $p-q$

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). On considère deux projecteurs $p$ et $q$ de $E$ et on définit l'endomorphisme $u$ par :

u = p - q

Démontrer que le sous-espace caractéristique de $u$ associé à la valeur propre $0$ , noté $E_{0}^{c}(u)$ , est stable par $p$ et par $q$ .

1.

Commencer par calculer l'expression de $u^2$ en fonction de $p$ et $q$ .

2.

Étudier la commutation entre $p$ et $u^2$ .

3.

Utiliser la propriété liant la commutation de deux endomorphismes à la stabilité des noyaux de leurs puissances.

4.

Exprimer $q$ en fonction de $p$ et $u$ pour conclure sur la stabilité par $q$ .

Idées clés

•

Utilisation de la relation $p^2=p$ et $q^2=q$ .

•

Lien entre commutation et stabilité des sous-espaces caractéristiques.

•

Identification de $E_0^c(u)$ comme le noyau d'une puissance de $u^2$ .

1. Calcul de $u^2$ et étude de la commutation.

Exprimons d'abord $u^2$ en utilisant la linéarité et le fait que $p$ et $q$ sont des projecteurs :

u^2 = (p-q)^2 = p^2 - pq - qp + q^2

Comme $p^2 = p$ et $q^2 = q$ , nous obtenons :

\boxed{u^2 = p + q - pq - qp}

Calculons maintenant le produit $p u^2$ :

p u^2 = p(p + q - pq - qp) = p^2 + pq - p^2q - pqp

En utilisant à nouveau $p^2 = p$ , il vient :

p u^2 = p + pq - pq - pqp = p - pqp

De la même manière, calculons $u^2 p$ :

u^2 p = (p + q - pq - qp)p = p^2 + qp - pqp - qp^2

u^2 p = p + qp - pqp - qp = p - pqp

On constate ainsi que $p u^2 = u^2 p$ . On en déduit :

\boxed{p \text{ commute avec } u^2}

2. Stabilité du sous-espace caractéristique.

Par définition, le sous-espace caractéristique de $u$ associé à la valeur propre $0$ est :

E_0^c(u) = \ker(u^N)   \text{où } N = \dim(E)

Remarquons que pour tout entier naturel $k$ , $\ker(u^k) \subset \ker(u^{2k})$ . Ainsi, il existe un entier $m$ suffisamment grand tel que :

E_0^c(u) = \ker((u^2)^m)

Or, nous avons établi que $p$ commute avec $u^2$ . Un résultat classique de cours stipule que si deux endomorphismes commutent, le noyau de tout polynôme en l'un est stable par l'autre.

En particulier, $p$ commute avec toute puissance de $u^2$ . Soit $x \in \ker((u^2)^m)$ . On a :

(u^2)^m (p(x)) = p((u^2)^m(x)) = p(0) = 0

Ceci prouve que $p(x) \in \ker((u^2)^m)$ , d'où :

\boxed{p(E_0^c(u)) \subset E_0^c(u)}

3. Stabilité par $q$ .

Par définition de $u$ , nous avons $q = p - u$ .

Soit $x \in E_0^c(u)$ . Par définition d'un sous-espace caractéristique, $u$ stabilise $E_0^c(u)$ . Nous venons de montrer que $p$ stabilise également $E_0^c(u)$ .

Comme $E_0^c(u)$ est un sous-espace vectoriel, toute combinaison linéaire d'éléments de $E_0^c(u)$ appartient à $E_0^c(u)$ . Ainsi :

q(x) = p(x) - u(x) \in E_0^c(u)

On conclut donc :

\boxed{q(E_0^c(u)) \subset E_0^c(u)}

Attention à ne pas supposer que $p$ et $q$ commutent entre eux, ce qui n'est absolument pas garanti par l'énoncé. Si $pq=qp$ , alors $p$ et $q$ commutent avec $u$ et le résultat est immédiat, mais ce n'est qu'un cas particulier.