Caractérisation des homothéties par la stabilité

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \geq 2$ sur un corps $\mathbb{K}$ . On considère un endomorphisme $f \in \mathcal{L}(E)$ .

On suppose qu'il existe un entier $k$ fixé, avec $1 \leq k \leq n-1$ , tel que pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$ de dimension $k$ , on ait la condition de stabilité :

f(F) \subseteq F

Déterminer la nature de l'endomorphisme $f$ .

1.

Commencer par montrer que si deux sous-espaces sont stables par $f$ , alors leur intersection l'est également.

2.

Montrer par récurrence descendante (ou par un argument d'intersection) que si tout sous-espace de dimension $k$ est stable, alors tout sous-espace de dimension $k-1$ l'est aussi.

3.

En déduire que toutes les droites vectorielles de $E$ sont stables par $f$ .

4.

Conclure en utilisant le résultat classique sur les endomorphismes dont toutes les droites sont stables.

Idées clés

•

Stabilité de l'intersection de sous-espaces stables.

•

Réduction de la dimension par intersection de sous-espaces de dimension $k$ .

•

Caractérisation des homothéties : un endomorphisme stabilisant toutes les droites est une homothétie.

Résolution.

Stabilité par intersection. Soient $F_1$ et $F_2$ deux sous-espaces vectoriels stables par $f$ . Pour tout $x \in F_1 \cap F_2$ , on a : $x \in F_1 \implies f(x) \in F_1 \text{et} x \in F_2 \implies f(x) \in F_2$ Ainsi, $f(x) \in F_1 \cap F_2$ , ce qui prouve que $F_1 \cap F_2$ est stable par $f$ .
Descente vers la dimension 1. Supposons $k > 1$ . Soit $H$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $k-1$ . Comme $\dim E = n$ et $k-1 \leq n-2$ , on peut compléter une base $(e_1, \dots, e_{k-1})$ de $H$ en une base $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ . Considérons les deux sous-espaces suivants : $F_1 = H \oplus \text{Vect}(e_k) \text{et} F_2 = H \oplus \text{Vect}(e_{k+1})$ Ces deux sous-espaces sont de dimension $k$ . Par hypothèse, ils sont stables par $f$ . D'après le point précédent, leur intersection est stable par $f$ . Or : $F_1 \cap F_2 = H$ Par conséquent, tout sous-espace de dimension $k-1$ est stable par $f$ . En réitérant ce raisonnement (ou par une récurrence descendante immédiate), on en déduit que : $\boxed{\text{Toutes les droites de } E \text{ sont stables par } f}$
Identification de l'endomorphisme. Soit $x \in E \setminus \{0\}$ . La droite $\text{Vect}(x)$ est stable, donc il existe un scalaire $\lambda_x \in \mathbb{K}$ tel que : $f(x) = \lambda_x x$ Montrons que $\lambda_x$ est indépendant de $x$ . Soient $x$ et $y$ deux vecteurs non nuls. Cas 1 : $(x, y)$ est une famille libre. On a $f(x) = \lambda_x x$ , $f(y) = \lambda_y y$ et $f(x+y) = \lambda_{x+y}(x+y)$ . Par linéarité : $\lambda_{x+y}(x+y) = \lambda_x x + \lambda_y y \implies (\lambda_{x+y} - \lambda_x)x + (\lambda_{x+y} - \lambda_y)y = 0$ Par liberté de $(x, y)$ , on obtient $\lambda_x = \lambda_{x+y} = \lambda_y$ . Cas 2 : $(x, y)$ est liée. Comme $n \geq 2$ , on peut choisir un vecteur $z$ tel que $(x, z)$ soit libre. Alors $\lambda_x = \lambda_z$ et $\lambda_y = \lambda_z$ d'après le premier cas, donc $\lambda_x = \lambda_y$ . Il existe donc un unique $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que $\forall x \in E, f(x) = \lambda x$ .
Conclusion. L'endomorphisme $f$ est une homothétie. $\boxed{f \in \{ \lambda \text{Id}_E, \lambda \in \mathbb{K} \}}$

Ne pas oublier de traiter le cas où la famille $(x, y)$ est liée lors de la démonstration finale de l'homothétie. L'existence d'un vecteur $z$ indépendant de $x$ nécessite l'hypothèse $n \geq 2$ .