Diagonalisabilité et sous-espaces stables

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $p \in \{1, \dots, n-1\}$ . On considère une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ (où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) écrite sous la forme de blocs suivante :

M = \begin{pmatrix} A & 0 B & C \end{pmatrix}

où

A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})

,

B \in \mathcal{M}_{n-p, p}(\mathbb{K})

et

C \in \mathcal{M}_{n-p}(\mathbb{K})

. On suppose que la matrice

M

est diagonalisable.

Soit $Z \in \mathbb{K}^n$ . On décompose $Z$ sous la forme $Z = \begin{pmatrix} X Y \end{pmatrix}$ avec $X \in \mathbb{K}^p$ et $Y \in \mathbb{K}^{n-p}$ . Démontrer qu'il existe une famille $(Z_1, \dots, Z_p)$ de vecteurs propres de $M$ telle que leurs composantes supérieures $(X_1, \dots, X_p)$ forment une base de $\mathbb{K}^p$ .
En déduire que la matrice $A$ est diagonalisable.
Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ . En utilisant les résultats précédents, prouver que l'endomorphisme induit $u_{|F}$ est diagonalisable.

1.

Pour la question 1, utiliser le fait qu'une matrice diagonalisable admet une base de vecteurs propres et considérer l'application linéaire de projection sur les $p$ premières coordonnées.

2.

Pour la question 2, traduire la relation $MZ = \lambda Z$ en un système d'équations par blocs pour voir que $X$ est un vecteur propre de $A$ .

3.

Pour la question 3, traduire la stabilité de $F$ par une forme matricielle par blocs. Attention à la position du bloc nul et utiliser la transposition si nécessaire.

Idées clés

•

Lien entre diagonalisabilité et existence d'une base de vecteurs propres.

•

Utilisation d'une application linéaire de projection pour transporter une famille génératrice.

•

Lien entre la diagonalisabilité d'une matrice et celle de sa transposée.

Résolution.

Puisque $M$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , il existe une base $(Z_1, \dots, Z_n)$ de $\mathbb{K}^n$ constituée de vecteurs propres de $M$ .
Considérons l'application linéaire de projection sur les $p$ premières composantes :
$\pi : \begin{cases} \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^p \begin{pmatrix} X Y \end{pmatrix} \mapsto X \end{cases}$ Cette application est clairement surjective. Par conséquent, l'image par $\pi$ d'une base de l'espace de départ est une famille génératrice de l'espace d'arrivée.
On en déduit que la famille $(\pi(Z_1), \dots, \pi(Z_n)) = (X_1, \dots, X_n)$ est une famille génératrice de $\mathbb{K}^p$ .
D'après le théorème de la base extraite, il existe $p$ indices $j_1, \dots, j_p$ tels que la famille $(X_{j_1}, \dots, X_{j_p})$ soit une base de $\mathbb{K}^p$ . Les vecteurs $Z_{j_1}, \dots, Z_{j_p}$ étant des éléments d'une base de vecteurs propres de $M$ , ils sont eux-mêmes des vecteurs propres de $M$ .
$\boxed{\text{Il existe } (Z_{j_1}, \dots, Z_{j_p}) \text{ vecteurs propres de } M \text{ tels que } (X_{j_k})_{1 \le k \le p} \text{ soit une base de } \mathbb{K}^p.}$
Soit $Z = \begin{pmatrix} X Y \end{pmatrix}$ un vecteur propre de $M$ associé à la valeur propre $\lambda$ . L'équation $MZ = \lambda Z$ s'écrit par blocs : $\begin{pmatrix} A & 0 B & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X Y \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} X Y \end{pmatrix} \iff \begin{cases} AX = \lambda X BX + CY = \lambda Y \end{cases}$ On remarque que si $X \neq 0$ , alors $X$ est un vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $\lambda$ . D'après la question précédente, il existe une base $(X_{j_1}, \dots, X_{j_p})$ de $\mathbb{K}^p$ où chaque $X_{j_k}$ est le "bloc haut" d'un vecteur propre $Z_{j_k}$ de $M$ . Comme les vecteurs d'une base sont non nuls, chaque $X_{j_k}$ est un vecteur propre de $A$ . $\boxed{A \text{ possède une base de vecteurs propres, donc } A \text{ est diagonalisable.}}$
Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme diagonalisable et $F$ un sous-espace stable par $u$ . Soit $\mathcal{B}_F = (f_1, \dots, f_p)$ une base de $F$ , que l'on complète en une base $\mathcal{B} = (f_1, \dots, f_p, g_1, \dots, g_{n-p})$ de $E$ . La matrice de $u$ dans cette base est de la forme : $\text{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} A & D 0 & C \end{pmatrix}$ où $A$ est la matrice de l'endomorphisme induit $v = u_{|F}$ dans la base $\mathcal{B}_F$ . La matrice $M = \text{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$ est diagonalisable car $u$ l'est. Pour se ramener à la forme de la question 2, considérons la transposée de $M$ : $M^T = \begin{pmatrix} A^T & 0 D^T & C^T \end{pmatrix}$ Rappelons qu'une matrice est diagonalisable si et seulement si sa transposée l'est (elles ont le même polynôme minimal, ou on peut transposer la relation $M=PDP^{-1}$ ). Ainsi $M^T$ est diagonalisable. Par le résultat de la question 2, la matrice $A^T$ est diagonalisable. En transposant à nouveau, on en déduit que $A$ est diagonalisable. $\boxed{\text{L'endomorphisme induit } u_{|F} \text{ est diagonalisable.}}$

Dans la question 3, si on utilise la base adaptée au sous-espace stable $F$ , le bloc de zéros apparaît en bas à gauche et non en haut à droite. Il est crucial d'utiliser la transposition ou de refaire le raisonnement symétrique pour conclure proprement.