Sous-espaces stables par multiplication par l'indéterminée

On considère l'espace vectoriel $E = \mathbb{K}[X]$ des polynômes à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$ .

Soit $u$ l'endomorphisme de $E$ défini par :

\forall P \in \mathbb{K}[X],   u(P) = XP

Déterminer tous les sous-espaces vectoriels de $\mathbb{K}[X]$ stables par $u$ .

1.

Si $V$ est un sous-espace stable par $u$ , alors pour tout $P \in V$ , $XP \in V$ . Que peut-on dire de $X^2 P$ , $X^3 P$ , etc. ?

2.

Utiliser la structure d'anneau de $\mathbb{K}[X]$ : montrer que $V$ est stable par multiplication par n'importe quel polynôme $Q$ .

3.

Se souvenir que $\mathbb{K}[X]$ est un anneau principal.

Idées clés

•

Lien entre stabilité par $X$ et structure d'idéal dans l'anneau $\mathbb{K}[X]$ .

•

Propriété de principalité de l'anneau des polynômes.

Résolution.

Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $E = \mathbb{K}[X]$ . Supposons que $V$ soit stable par $u$ . Par définition, on a :

\forall P \in V,   XP \in V

Par une récurrence immédiate, on montre que pour tout entier naturel $k \in \mathbb{N}$ :

\forall P \in V,   X^k P \in V

En effet, le cas $k=0$ est trivial ( $P \in V$ ). Si l'on suppose $X^k P \in V$ , alors par stabilité de $V$ par $u$ , on a $u(X^k P) = X^{k+1} P \in V$ .

Considérons maintenant un polynôme quelconque $Q \in \mathbb{K}[X]$ . Il existe $n \in \mathbb{N}$ et des scalaires $a_0, \dots, a_n \in \mathbb{K}$ tels que $Q = \sum_{k=0}^n a_k X^k$ .

Pour tout $P \in V$ , on peut écrire le produit $QP$ sous la forme :

QP = \left( \sum_{k=0}^n a_k X^k \right) P = \sum_{k=0}^n a_k (X^k P)

Comme $V$ est un sous-espace vectoriel, et que chaque terme $X^k P$ appartient à $V$ d'après ce qui précède, la combinaison linéaire appartient aussi à $V$ .

\forall P \in V,   \forall Q \in \mathbb{K}[X],   QP \in V

Cette propriété signifie exactement que $V$ est un idéal de l'anneau $\mathbb{K}[X]$ .

Or, nous savons que $\mathbb{K}[X]$ est un anneau principal. Tout idéal de $\mathbb{K}[X]$ est donc engendré par un unique polynôme unitaire (ou nul).

Ainsi, il existe un polynôme $A \in \mathbb{K}[X]$ tel que :

V = \{ QA \mid Q \in \mathbb{K}[X] \} = A \cdot \mathbb{K}[X]

Réciproquement, pour tout polynôme $A \in \mathbb{K}[X]$ , l'ensemble $A \cdot \mathbb{K}[X]$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}[X]$ . De plus, si $P \in A \cdot \mathbb{K}[X]$ , il existe $Q \in \mathbb{K}[X]$ tel que $P = QA$ . Alors $u(P) = XP = X(QA) = (XQ)A$ , ce qui montre que $u(P) \in A \cdot \mathbb{K}[X]$ .

Les sous-espaces stables par $u$ sont donc exactement les idéaux de $\mathbb{K}[X]$ .

\boxed{ \mathcal{S} = \{ P \cdot \mathbb{K}[X] \mid P \in \mathbb{K}[X] \} }

Ne pas oublier de vérifier la réciproque : il faut s'assurer que tout idéal est bien un sous-espace vectoriel stable par l'application $P \mapsto XP$ .