Prescription du polynôme caractéristique

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{C}$ de dimension $n \geq 1$ . On considère $u \in \mathcal{L}(E)$ et on suppose qu'il existe un vecteur $x \in E$ tel que la famille $\mathcal{B} = (x, u(x), \dots, u^{n-1}(x))$ forme une base de $E$ .

On suppose dans cette question que $u$ est nilpotent. Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ un polynôme unitaire de degré $n$ . Montrer qu'il existe une forme linéaire $\phi \in E^*$ telle que le polynôme caractéristique de l'endomorphisme $v = u + x \otimes \phi$ soit égal à $P$ . Note : $x \otimes \phi$ désigne l'endomorphisme $z \mapsto \phi(z)x$ .
Montrer que le résultat de la question précédente reste vrai si l'on ne suppose plus $u$ nilpotent.

1.

Exprimer la matrice de $u$ dans la base $\mathcal{B}$ . Remarquer que si $u$ est nilpotent, $u(u^{n-1}(x)) = 0$ .

2.

Déterminer la structure de la matrice de $x \otimes \phi$ dans cette même base.

3.

Calculer le polynôme caractéristique de $v = u + x \otimes \phi$ par un développement par rapport à la première ligne ou par linéarité du déterminant.

4.

Pour le cas général, utiliser la même base et observer l'influence des coefficients de $\phi$ sur ceux du polynôme caractéristique.

Idées clés

•

Utilisation de la structure des endomorphismes cycliques (matrices compagnons).

•

Modification d'une ligne d'une matrice par une perturbation de rang 1.

•

Propriété de linéarité du déterminant par rapport aux lignes.

Résolution.

Cas où $u$ est nilpotent. Puisque $u$ est nilpotent et que $(x, u(x), \dots, u^{n-1}(x))$ est une base, on a nécessairement $u^n(x) = 0$ . En effet, l'indice de nilpotence de $u$ est alors $n$ . Posons $e_i = u^{i-1}(x)$ pour $i \in \{1, \dots, n\}$ . La matrice de $u$ dans la base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ est : $M_u = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 1 & 0 & \dots & 0 0 & 1 & \ddots & \vdots \vdots & \ddots & \ddots & 0 \end{pmatrix}$ Soit $\phi \in E^*$ . On définit les scalaires $\alpha_i = \phi(e_i)$ . L'endomorphisme $w = x \otimes \phi$ est défini par $w(z) = \phi(z)e_1$ . Sa matrice dans $\mathcal{B}$ est : $M_w = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_n 0 & 0 & \dots & 0 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}$ Alors la matrice de $v = u + w$ dans $\mathcal{B}$ est : $M_v = M_u + M_w = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_{n-1} & \alpha_n 1 & 0 & \dots & 0 & 0 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ Le polynôme caractéristique de $v$ est $\chi_v(X) = \det(XI_n - M_v)$ . En développant ce déterminant (par exemple par rapport à la première ligne ou en reconnaissant une matrice compagnon transposée), on obtient : $\boxed{\chi_v(X) = X^n - \alpha_1 X^{n-1} - \alpha_2 X^{n-2} - \dots - \alpha_n}$ Soit $P = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_0$ le polynôme cible. Il suffit de choisir : $\forall i \in \{1, \dots, n\}, \alpha_i = -a_{n-i}$ Ceci définit de manière unique la forme linéaire $\phi$ par ses valeurs sur la base $\mathcal{B}$ .
Cas général. Si $u$ n'est pas nilpotent, $u(e_n) = u^n(x)$ s'exprime dans la base $\mathcal{B}$ : $u(e_n) = \sum_{j=1}^n \gamma_j e_j$ La matrice de $u$ dans $\mathcal{B}$ devient : $M_u = \begin{pmatrix} 0 & \dots & 0 & \gamma_1 1 & \dots & 0 & \gamma_2 \vdots & \ddots & \vdots & \vdots 0 & \dots & 1 & \gamma_n \end{pmatrix}$ En ajoutant $w = x \otimes \phi$ , seule la première ligne de la matrice est modifiée : $M_v = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_n + \gamma_1 1 & 0 & \dots & \gamma_2 \vdots & \ddots & \ddots & \vdots 0 & \dots & 1 & \gamma_n \end{pmatrix}$ Notons $L_1, \dots, L_n$ les lignes de la matrice $A = XI_n - M_v$ . On a : $L_1 = (X-\alpha_1, -\alpha_2, \dots, -\alpha_n - \gamma_1)$ Par linéarité du déterminant par rapport à la première ligne, on peut séparer l'influence des $\alpha_i$ : $\chi_v(X) = \det \begin{pmatrix} X & 0 & \dots & -\gamma_1 -1 & X & \dots & -\gamma_2 \vdots & \ddots & \ddots & \vdots 0 & \dots & -1 & X-\gamma_n \end{pmatrix} - \det \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_n -1 & X & \dots & 0 \vdots & \ddots & \ddots & \vdots 0 & \dots & -1 & X \end{pmatrix}$ Le premier terme est $\chi_u(X)$ . Le second terme est, d'après le calcul de la question 1, le polynôme $Q(X) = \alpha_1 X^{n-1} + \dots + \alpha_n$ . On a donc : $\boxed{\chi_v(X) = \chi_u(X) - (\alpha_1 X^{n-1} + \alpha_2 X^{n-2} + \dots + \alpha_n)}$ Soit $P$ un polynôme unitaire de degré $n$ . Posons $R(X) = \chi_u(X) - P(X)$ . Puisque $\chi_u$ et $P$ sont unitaires de degré $n$ , $R$ est un polynôme de degré au plus $n-1$ . On peut donc écrire $R(X) = \sum_{i=1}^n \beta_i X^{n-i}$ . Il suffit alors de choisir $\phi$ telle que $\alpha_i = \beta_i$ pour tout $i$ pour obtenir : $\boxed{\chi_v = \chi_u - R = P}$

Ne pas oublier que la famille $(x, u(x), \dots, u^{n-1}(x))$ n'est pas toujours une base. Cette propriété définit les endomorphismes dits "cycliques". Si $u$ n'est pas cyclique, le résultat n'est plus garanti pour n'importe quel $x$ .