Diagonalisabilité et réduction par blocs

Soit $P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ un projecteur et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ . On considère la matrice $M = \begin{pmatrix} P & A 0 & P \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{K})$ .

À quelle condition nécessaire et suffisante sur $A$ et $P$ la matrice $M$ est-elle diagonalisable ?
On suppose dans cette question que $PA = AP$ . Déterminer la décomposition de Dunford de $M$ .

1.

Pour la question 1, une matrice dont le polynôme caractéristique est scindé est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est à racines simples. Ici, tester le polynôme $X(X-1)$ .

2.

Pour la question 2, si $PA=AP$ , chercher $N$ sous la forme $\begin{pmatrix} 0 & A 0 & 0 \end{pmatrix}$ et vérifier les conditions de Dunford.

Idées clés

•

$M$ est diagonalisable si et seulement si elle annule un polynôme scindé à racines simples.

•

Les valeurs propres de $M$ sont celles de $P$ , donc 0 et 1. Le candidat naturel pour le polynôme minimal est $X(X-1)$ .

Résolution.

Comme $P$ est un projecteur, ses valeurs propres sont dans $\{0, 1\}$ . Par construction de $M$ , $\text{Sp}(M) = \text{Sp}(P) \subset \{0, 1\}$ . $M$ est donc diagonalisable si et seulement si elle annule le polynôme $Q(X) = X(X-1)$ . Calculons $M^2 - M$ : $M^2 = \begin{pmatrix} P & A 0 & P \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P & A 0 & P \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P^2 & PA + AP 0 & P^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P & PA + AP 0 & P \end{pmatrix}$
On a alors :
$M^2 - M = \begin{pmatrix} 0 & PA + AP - A 0 & 0 \end{pmatrix}$
Ainsi, $M$ est diagonalisable si et seulement si $M^2 - M = 0$ , ce qui équivaut à :
$\boxed{PA + AP = A}$
On suppose maintenant $PA = AP$ $P A = A P$ . D'après la question précédente, si $A \neq 0$ $A \neq = 0$ et $PA=AP$ $P A = A P$ , la condition $2PA=A$ $2 P A = A$ n'est pas forcément vérifiée, donc $M$ $M$ n'est pas nécessairement diagonalisable. Posons $D = \begin{pmatrix} P & 0 0 & P \end{pmatrix}$ $D = (P 0 0 P)$ et $N = \begin{pmatrix} 0 & A 0 & 0 \end{pmatrix}$ $N = (00 A 0)$ . Vérifions les conditions de Dunford :
- $D + N = \begin{pmatrix} P & A 0 & P \end{pmatrix} = M$ .
- $D$ est diagonale par blocs avec $P$ diagonalisable en diagonale, donc $D$ est diagonalisable.
- $N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 0 & 0 \end{pmatrix}$ , donc $N$ est nilpotente.
- Étudions le commutateur $[D, N]$ : $DN = \begin{pmatrix} P & 0 0 & P \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & A 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & PA 0 & 0 \end{pmatrix}$ $ND = \begin{pmatrix} 0 & A 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P & 0 0 & P \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & AP 0 & 0 \end{pmatrix}$
Comme on a supposé $PA = AP$ , on en déduit que $DN = ND$ . Par unicité de la décomposition, on a :
$\boxed{D = \begin{pmatrix} P & 0 0 & P \end{pmatrix} \text{et} N = \begin{pmatrix} 0 & A 0 & 0 \end{pmatrix}}$

Attention, si $PA \neq AP$ , la matrice $\begin{pmatrix} P & 0 0 & P \end{pmatrix}$ n'est plus la partie diagonale de Dunford car elle ne commute plus avec $N$ . La décomposition devient alors beaucoup plus complexe.