Réduction des matrices non diagonalisables de taille 2

Soit $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$ . On suppose que la matrice $A$ n'est pas diagonalisable.

Montrer que $A$ est semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix} \lambda & 1 0 & \lambda \end{pmatrix}$ pour un certain $\lambda \in \mathbb{C}$ .

1.

Utiliser le fait que le polynôme caractéristique d'une matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ est scindé sur $\mathbb{C}$ .

2.

Étudier les dimensions possibles des sous-espaces propres dans le cas où $A$ n'est pas diagonalisable.

3.

Considérer l'endomorphisme $u$ associé à $A$ et chercher une base $(e_1, e_2)$ adaptée à l'endomorphisme nilpotent $N = u - \lambda \mathrm{id}$ .

Idées clés

•

Analyse du spectre et du polynôme caractéristique.

•

Utilisation de l'indice de nilpotence de $A - \lambda I$ .

•

Construction explicite d'une base de réduction.

1. Analyse du spectre de $A$

Le polynôme caractéristique $\chi_A(X) = \det(XI - A)$ est un polynôme de degré 2 à coefficients complexes. D'après le théorème de d'Alembert-Gauss, $\chi_A$ est scindé sur $\mathbb{C}$ .

Il existe donc deux racines $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$ (éventuellement confondues) telles que :

\chi_A(X) = (X - \lambda_1)(X - \lambda_2)

Si $\lambda_1 \neq \lambda_2$ , alors $A$ possède deux valeurs propres distinctes en dimension 2. Dans ce cas, $A$ serait diagonalisable, ce qui est exclu par l'énoncé.

Par conséquent, les deux valeurs propres sont confondues. On note $\lambda$ cette valeur propre unique :

\boxed{\chi_A(X) = (X - \lambda)^2}

2. Étude de l'espace propre associé

Notons $E_\lambda = \ker(A - \lambda I)$ le sous-espace propre associé à l'unique valeur propre $\lambda$ . On sait que $1 \le \dim(E_\lambda) \le 2$ (car $\lambda$ est racine de $\chi_A$ ).

Si $\dim(E_\lambda) = 2$ , alors $E_\lambda = \mathbb{C}^2$ , ce qui signifie que $A - \lambda I = 0$ , soit $A = \lambda I$ . Or, une matrice scalaire est diagonalisable, ce qui contredit l'hypothèse.

On en déduit donc nécessairement la dimension de l'espace propre :

\boxed{\dim(E_\lambda) = 1}

3. Construction d'une base de similitude

Soit $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{C}^2$ canoniquement associé à $A$ . Considérons l'endomorphisme $n = u - \lambda \mathrm{id}$ .

D'après le théorème de Cayley-Hamilton, nous savons que $\chi_u(u) = 0$ , ce qui donne :

(u - \lambda \mathrm{id})^2 = 0   \text{soit}   n^2 = 0

L'endomorphisme $n$ est donc nilpotent. Puisque $A$ n'est pas diagonalisable, $n \neq 0$ (comme vu précédemment). Il existe donc un vecteur $e_2 \in \mathbb{C}^2$ tel que $n(e_2) \neq 0$ .

Posons alors $e_1 = n(e_2)$ .

Vérifions que la famille $(e_1, e_2)$ forme une base de $\mathbb{C}^2$ :

$e_1 = (u - \lambda \mathrm{id})(e_2) \in \ker(u - \lambda \mathrm{id})$ car $n^2 = 0$ . Donc $e_1$ est un vecteur propre.
Si $(e_1, e_2)$ était liée, comme $e_1 \neq 0$ , on aurait $e_2 \in \mathrm{Vect}(e_1)$ .
Cela impliquerait $n(e_2) = 0$ (puisque $e_1 \in \ker(n)$ ), ce qui contredit notre choix de $e_2$ .

Ainsi, $\mathcal{B}' = (e_1, e_2)$ est une base de $\mathbb{C}^2$ .

4. Matrice de $u$ dans cette nouvelle base

Calculons les images des vecteurs de la base $\mathcal{B}'$ par $u$ :

Par définition de $e_1$ comme vecteur propre : $u(e_1) = \lambda e_1$ .
Par définition de $e_1 = n(e_2) = (u - \lambda \mathrm{id})(e_2)$ , on a :

u(e_2) = \lambda e_2 + e_1 = 1 \cdot e_1 + \lambda \cdot e_2

La matrice de $u$ dans la base $\mathcal{B}'$ est donc :

\boxed{ \text{Mat}_{\mathcal{B}'}(u) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 0 & \lambda \end{pmatrix} }

La matrice $A$ est donc semblable à cette matrice.

Attention à ne pas oublier de justifier pourquoi $\lambda_1 = \lambda_2$ . L'argument clé est que si les valeurs propres sont distinctes, la matrice est automatiquement diagonalisable (théorème du cours). De même, il faut justifier que $n \neq 0$ pour assurer l'existence de $e_2$ .