Similitude réelle et complexe

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ . On suppose que $A$ et $B$ sont semblables dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ . Ainsi, il existe une matrice $P \in GL_{n}(\mathbb{C})$ telle que $P^{-1}AP = B$ .

On décompose $P$ sous la forme $P = X + iY$ où $X, Y \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ . Montrer que pour tout scalaire $\lambda \in \mathbb{C}$ , on a la relation : $A(X + \lambda Y) = (X + \lambda Y)B$
Soit $f$ l'application définie sur $\mathbb{C}$ par $f(z) = \det(X + zY)$ . Justifier que $f$ est une fonction polynomiale et qu'elle n'est pas identiquement nulle.
En déduire qu'il existe une matrice $Q \in GL_{n}(\mathbb{R})$ telle que $Q^{-1}AQ = B$ . Conclure sur la relation entre la similitude dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ et dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ .

1.

Pour la question 1, utilisez l'égalité $AP = PB$ et séparez les parties réelle et imaginaire.

2.

Pour la question 2, rappelez-vous que le déterminant est un polynôme en les coefficients de la matrice. Évaluez $f$ en un point particulier pour prouver qu'elle n'est pas nulle.

3.

Un polynôme non nul à coefficients réels ou complexes ne possède qu'un nombre fini de racines.

Idées clés

•

Décomposition d'une matrice complexe en parties réelle et imaginaire.

•

Propriété des polynômes sur un corps infini ( $\mathbb{R}$ ).

•

Lien entre inversibilité et non-annulation du déterminant.

Résolution.

Par hypothèse, il existe $P \in GL_n(\mathbb{C})$ telle que $AP = PB$ . En posant $P = X + iY$ avec $X, Y \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , l'égalité devient : $A(X + iY) = (X + iY)B$ En développant par linéarité du produit matriciel : $AX + i AY = XB + i YB$ Comme les matrices $A, B, X, Y$ sont à coefficients réels, nous pouvons identifier les parties réelle et imaginaire de cette égalité de matrices : $\begin{cases} AX = XB AY = YB \end{cases}$ Soit alors $\lambda \in \mathbb{C}$ . En combinant ces deux égalités ( $L_1 + \lambda L_2$ ), on obtient : $AX + \lambda AY = XB + \lambda YB$ Ce qui donne bien par factorisation : $\boxed{\forall \lambda \in \mathbb{C}, A(X + \lambda Y) = (X + \lambda Y)B}$
L'application $f : z \mapsto \det(X + zY)$ est le déterminant d'une matrice dont chaque coefficient est un polynôme de degré au plus 1 en $z$ (de la forme $x_{j,k} + z y_{j,k}$ ). Le déterminant étant une forme polynomiale des coefficients de la matrice, $f$ est une somme de produits de tels termes. Par conséquent, $f$ est une fonction polynomiale en $z$ . De plus, nous savons que la matrice $P = X + iY$ est inversible par hypothèse. Ainsi, son déterminant est non nul : $f(i) = \det(X + iY) = \det(P) \neq 0$ Puisque $f$ prend une valeur non nulle en $z=i$ , on en déduit : $\boxed{f \text{ n'est pas le polynôme nul.}}$
Le polynôme $f$ $f$ est de degré au plus $n$ $n$ et n'est pas identiquement nul. Il possède donc au plus $n$ $n$ racines complexes distinctes. Comme l'ensemble $\mathbb{R}$ $R$ est infini, il contient une infinité de valeurs qui ne sont pas des racines de $f$ $f$ . Il existe donc (au moins) un réel $x_0 \in \mathbb{R}$ $x_{0} \in R$ tel que $f(x_0) \neq 0$ $f (x_{0}) \neq = 0$ . Posons alors $Q = X + x_0 Y$ $Q = X + x_{0} Y$ . Par construction :
- $Q$ est à coefficients réels car $X, Y$ le sont et $x_0 \in \mathbb{R}$ .
- $Q$ est inversible car $\det(Q) = f(x_0) \neq 0$ .
D'après la question 1, on a $AQ = QB$ $A Q = QB$ , ce qui équivaut à :
$\boxed{Q^{-1}AQ = B}$
On en conclut que $A$ $A$ et $B$ $B$ sont semblables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ $M_{n} (R)$ .

Attention à ne pas croire que si $P$ est la matrice de passage complexe, alors sa partie réelle $X$ est nécessairement inversible. L'astuce consiste bien à chercher une combinaison linéaire $X + x_0 Y$ qui soit inversible.