Similitude et extension de corps

Résolution.

1. Nous raisonnons par récurrence sur $d \in \mathbb{N}^*$. Initialisation ($d=1$) : Un polynôme $P(X_1) \in L[X_1]$ qui s'annule sur $K$ possède une infinité de racines (car $K$ est infini). Un polynôme ayant plus de racines que son degré est nécessairement nul. Hérédité : Supposons le résultat vrai pour $d-1$ variables. Soit $P \in L[X_1, \dots, X_d]$ nul sur $K^d$. On peut écrire :
   $$P(X_1, \dots, X_d) = \sum_{j=0}^m Q_j(X_1, \dots, X_{d-1}) X_d^j$$
   Pour tout $(x_1, \dots, x_{d-1}) \in K^{d-1}$ fixé, l'application $x_d \mapsto P(x_1, \dots, x_{d-1}, x_d)$ est un polynôme à une variable nul sur $K$. Par l'initialisation, ses coefficients sont nuls :
   $$\forall j \in \{0, \dots, m\},   Q_j(x_1, \dots, x_{d-1}) = 0$$
   Ceci étant vrai pour tout $(x_1, \dots, x_{d-1}) \in K^{d-1}$, par hypothèse de récurrence, chaque $Q_j$ est le polynôme nul. Ainsi $P$ est nul.
   $$\boxed{\text{Un polynôme nul sur } K^d \text{ est nul sur } L^d.}$$

2. Soit $P \in GL_n(L)$ telle que $AP = PB$. Soit $(e_1, \dots, e_d)$ une base de $L$ en tant que $K$-espace vectoriel. Chaque coefficient $P_{j,k}$ de $P$ se décompose dans cette base : $P_{j,k} = \sum_{m=1}^d \lambda_{j,k,m} e_m$ avec $\lambda_{j,k,m} \in K$. On peut donc écrire $P = \sum_{m=1}^d e_m P_m$ où chaque $P_m \in \mathcal{M}_n(K)$. L'égalité $AP = PB$ devient :
   $$A \left( \sum_{m=1}^d e_m P_m \right) = \left( \sum_{m=1}^d e_m P_m \right) B$$
   $$\sum_{m=1}^d e_m (AP_m - P_m B) = 0$$
   Comme $(e_1, \dots, e_d)$ est une famille $K$-libre, chaque coefficient de la combinaison linéaire dans $\mathcal{M}_n(L)$ est nul :
   $$\forall m \in \{1, \dots, d\},   AP_m = P_m B$$
   Considérons l'application $f : K^d \to K$ définie par :
   $$f(x_1, \dots, x_d) = \det \left( \sum_{m=1}^d x_m P_m \right)$$
   $f$ est une application polynomiale à $d$ variables. Si elle était identiquement nulle sur $K^d$, elle serait nulle sur $L^d$ d'après la question 1. Or, en prenant pour $(x_m)$ les composantes de $1 \in L$ (si on voit $P$ comme une seule matrice), ou plus simplement en remarquant que $f$ évaluée au point correspondant à la matrice $P$ donne $\det(P) \neq 0$, on voit que $f$ n'est pas le polynôme nul. Il existe donc $(k_1, \dots, k_d) \in K^d$ tel que $f(k_1, \dots, k_d) \neq 0$. La matrice $Q = \sum k_m P_m$ est alors dans $GL_n(K)$ et vérifie :
   $$\boxed{AQ = QB \implies Q^{-1}AQ = B}$$