Classes de similitude et matrices annulées par un polynôme

Soit $n$ un entier naturel non nul et $P \in \mathbb{K}[X]$ un polynôme de degré $r \geq 1$ , scindé sur $\mathbb{K}$ et à racines simples. On note $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{r}$ les racines distinctes de $P$ dans $\mathbb{K}$ .

On considère l'ensemble des matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ annulées par $P$ :

E = \{ A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \mid P(A) = 0 \}

Justifier que toute matrice $A \in E$ est diagonalizable sur $\mathbb{K}$ .
Montrer que $E$ est une réunion finie de classes de similitude de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .
Déterminer, en fonction de $n$ et $r$ , le nombre exact de ces classes de similitude.
On suppose ici $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ $K = C$ .
1. Rappeler pourquoi $GL_{n}(\mathbb{C})$ est un ensemble connexe par arcs.
2. En déduire le nombre de composantes connexes par arcs de l'ensemble $E$ .

1.

Pour la question 1, utiliser le critère de diagonalisabilité lié aux polynômes annulateurs.

2.

Pour la question 2, se rappeler que deux matrices diagonalisables sont semblables si et seulement si elles ont le même polynôme caractéristique.

3.

Pour la question 3, ramener le problème au dénombrement des $r$ -uplets d'entiers naturels $(n_1, \dots, n_r)$ tels que $\sum n_i = n$ .

4.

Pour la question 4, utiliser la continuité de l'application de similitude $M \mapsto P M P^{-1}$ et le fait que le polynôme caractéristique varie "discrètement" sur $E$ .

Idées clés

•

Critère de diagonalisation : $u$ est diagonalisable ssi il possède un polynôme annulateur scindé à racines simples.

•

Invariant de similitude : Pour les matrices diagonalisables, le spectre (avec multiplicités) caractérise la classe de similitude.

•

Dénombrement : Méthode "étoiles et barres" pour les combinaisons avec répétition.

Résolution.

Le polynôme $P$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et toutes ses racines sont simples par hypothèse. Puisque $P$ annule toute matrice $A \in E$ , le critère du cours s'applique directement. $\boxed{\forall A \in E, \text{$
Soit $A \in E$ . Comme $A$ est diagonalisable, sa classe de similitude est entièrement déterminée par son polynôme caractéristique $\chi_A$ . Les valeurs propres de $A$ sont nécessairement des racines de son polynôme annulateur $P$ . Ainsi, $Sp(A) \subset \{\lambda_1, \dots, \lambda_r\}$ . Le polynôme caractéristique de $A$ est donc de la forme : $\chi_A(X) = \prod_{i=1}^r (X - \lambda_i)^{n_i}$ où les $n_i$ sont des entiers naturels (éventuellement nuls) représentant la multiplicité de la valeur propre $\lambda_i$ . Ces multiplicités doivent vérifier la condition de dimension : $\boxed{\sum_{i=1}^r n_i = n}$ Comme il n'y a qu'un nombre fini de $r$ -uplets $(n_1, \dots, n_r)$ d'entiers naturels vérifiant cette somme, il n'y a qu'un nombre fini de polynômes caractéristiques possibles, donc un nombre fini de classes de similitude.
Le nombre de classes de similitude correspond au nombre de solutions de l'équation $n_1 + n_2 + \dots + n_r = n$ dans $\mathbb{N}^r$ . Il s'agit du nombre de combinaisons avec répétition de $n$ éléments parmi $r$ . D'après le cours de dénombrement, ce nombre est donné par le coefficient binomial : $\boxed{ N = \binom{n+r-1}{r-1} }$
1. Dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , toute matrice est trigonalisable. On montre que $GL_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs en reliant toute matrice inversible à l'identité par un chemin évitant les matrices de déterminant nul (via le caractère fini du spectre). Plus simplement, l'image de l'ensemble connexe par arcs des matrices de transvection et de dilatation par le produit est connexe.
2. Soit $\mathcal{C}$ une classe de similitude incluse dans $E$ . Soit $A \in \mathcal{C}$ . On peut écrire $\mathcal{C} = \{ M A M^{-1} \mid M \in GL_n(\mathbb{C}) \}$ . L'application $\phi : GL_n(\mathbb{C}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ définie par $\phi(M) = M A M^{-1}$ est continue. L'image d'un connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs. Puisque $GL_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs, chaque classe de similitude $\mathcal{C}$ est connexe par arcs. Considérons maintenant l'application $f : E \to \mathbb{C}[X]$ qui à $M$ associe son polynôme caractéristique $\chi_M$ . Cette application est continue (ses coefficients sont des polynômes en les coefficients de $M$ ). L'image $f(E)$ est l'ensemble fini des polynômes $\prod (X-\lambda_i)^{n_i}$ identifiés à la question 3. Si $C$ est une composante connexe de $E$ , alors $f(C)$ est un connexe de $\mathbb{C}[X]$ muni de la topologie usuelle. Comme $f(E)$ est discret (fini), $f(C)$ doit être réduit à un seul point. Ainsi, chaque composante connexe est incluse dans une classe de similitude. Comme les classes de similitude sont connexes par arcs et disjointes, elles constituent exactement les composantes connexes par arcs. $\boxed{\text{Le nombre de composantes connexes par arcs est } \binom{n+r-1}{r-1}}$

Attention à ne pas oublier que les $n_i$ peuvent être nuls. Si une racine de $P$ n'est pas valeur propre de $A$ , sa multiplicité $n_i$ est simplement $0$ .