Caractérisation des classes de similitude finies

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère l'ensemble des matrices inversibles $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$ .

Déterminer l'ensemble des matrices $A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$ dont la classe de similitude, définie par $\mathcal{O}(A) = \{ PAP^{-1} \mid P \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C}) \}$ , est un ensemble fini.

1.

Commencer par tester le cas des matrices scalaires (homothéties), c'est-à-dire les matrices de la forme $\lambda I_n$ avec $\lambda \in \mathbb{C}^*$ .

2.

Pour le cas général, si $A$ n'est pas une homothétie, utiliser le fait qu'il existe un vecteur $x \in \mathbb{C}^n$ tel que la famille $(x, Ax)$ soit libre.

3.

Construire une famille infinie de bases à partir de ce vecteur pour montrer que la classe de similitude contient une infinité d'éléments.

4.

Utiliser le fait que le corps $\mathbb{C}$ est infini.

Idées clés

•

Caractérisation des homothéties : $u$ est une homothétie si et seulement si pour tout $x$ , $(x, u(x))$ est liée.

•

Lien entre classe de similitude et matrices d'un même endomorphisme dans différentes bases.

•

Utilisation de la liberté de $(x, u(x))$ pour faire varier les coefficients de la matrice.

Résolution.

Soit $A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$ . On note $u$ l'endomorphisme de $E = \mathbb{C}^n$ canoniquement associé à $A$ . La classe de similitude de $A$ correspond à l'ensemble des matrices de $u$ dans toutes les bases possibles de $E$ .

Cas 1 : $A$ est une homothétie.

Supposons qu'il existe $\lambda \in \mathbb{C}^*$ tel que $A = \lambda I_n$ .

Alors, pour toute matrice $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ , on a :

PAP^{-1} = P (\lambda I_n) P^{-1} = \lambda P P^{-1} = \lambda I_n

Dans ce cas, la classe de similitude est réduite à un singleton :

\mathcal{O}(A) = \{ \lambda I_n \}

L'ensemble est fini (de cardinal 1). Ainsi, toutes les homothéties de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ conviennent.

Cas 2 : $A$ n'est pas une homothétie.

Si $A$ n'est pas une homothétie, il existe au moins un vecteur $x \in E$ tel que la famille $(x, u(x))$ soit libre. En effet, si pour tout $x \in E$ , $(x, u(x))$ était liée, alors $u$ serait une homothétie (résultat classique d'algèbre linéaire).

Complétons la famille libre $(x, u(x))$ en une base $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3, \dots, e_n)$ de $E$ , en posant :

e_1 = x   \text{et}   e_2 = u(x)

Dans cette base, la première colonne de la matrice $M = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$ est :

\mathrm{Col}_1(M) = \begin{pmatrix} 0 1 0 \vdots 0 \end{pmatrix}

Pour chaque $\mu \in \mathbb{C}^*$ , considérons la nouvelle base $\mathcal{B}_\mu$ définie par :

\mathcal{B}_\mu = ( \mu e_1, e_2, e_3, \dots, e_n )

Notons $M_\mu = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_\mu}(u)$ la matrice de $u$ dans cette base. Par définition, toutes ces matrices $M_\mu$ appartiennent à la classe de similitude de $A$ .

Déterminons la première colonne de $M_\mu$ . On a :

u(\mu e_1) = \mu u(e_1) = \mu e_2

Comme $e_2$ est le deuxième vecteur de la base $\mathcal{B}_\mu$ , ses coordonnées dans $\mathcal{B}_\mu$ sont $(0, 1, 0, \dots, 0)$ . Par conséquent, les coordonnées de $u(\mu e_1)$ dans $\mathcal{B}_\mu$ sont :

\begin{pmatrix} 0 \mu 0 \vdots 0 \end{pmatrix}

Ainsi, la matrice $M_\mu$ possède la valeur $\mu$ à la position $(2,1)$ . Comme le corps $\mathbb{C}$ est infini, l'ensemble des valeurs $\{\mu \mid \mu \in \mathbb{C}^*\}$ est infini.

Chaque valeur de $\mu$ distincte produit une matrice $M_\mu$ distincte dans $\mathcal{O}(A)$ . On en déduit que $\mathcal{O}(A)$ est un ensemble infini.

Conclusion.

Les matrices de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ dont la classe de similitude est finie sont exactement les homothéties inversibles.

\boxed{ \text{Solutions } = \{ \lambda I_n \mid \lambda \in \mathbb{C}^* \} }

L'énoncé précise $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ , il ne faut pas oublier d'exclure la matrice nulle ( $\lambda \neq 0$ ), car bien que sa classe de similitude soit finie, elle n'est pas dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ .