Matrices commutant avec leurs semblables

Résolution.

Soit $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ une matrice vérifiant la propriété. Notons $\mathcal{S}(A)$ sa classe de similitude.

1. Étude de la commutativité au sein de la classe de similitude.

   Soient $B_1$ et $B_2$ deux matrices semblables à $A$. Il existe $P_1 \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ tel que $B_1 = P_1 A P_1^{-1}$. Par hypothèse, $A$ commute avec toute matrice de sa classe de similitude. En particulier :

   $$A (P_1^{-1} B_2 P_1) = (P_1^{-1} B_2 P_1) A$$
   car $P_1^{-1} B_2 P_1$ est semblable à $B_2$, donc à $A$. En multipliant par $P_1$ à gauche et $P_1^{-1}$ à droite, on obtient :
   $$(P_1 A P_1^{-1}) B_2 = B_2 (P_1 A P_1^{-1}) \implies \boxed{B_1 B_2 = B_2 B_1}$$
   Ainsi, tous les éléments de la classe de similitude $\mathcal{S}(A)$ commutent deux à deux.

2. Existence d'un vecteur propre commun.

   L'ensemble $\mathcal{S}(A)$ est une famille de matrices de $\mathrm{M}_n(\mathbb{C})$ qui commutent. Puisque le corps de base est $\mathbb{C}$, cette famille admet un vecteur propre commun. Il existe donc un vecteur $v \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}$ tel que pour tout $B \in \mathcal{S}(A)$, $v$ soit un vecteur propre de $B$. Pour tout $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$, il existe donc un scalaire $\lambda_P \in \mathbb{C}$ tel que :

   $$(PAP^{-1})v = \lambda_P v$$
   Or, les valeurs propres de $PAP^{-1}$ sont les mêmes que celles de $A$. L'ensemble des valeurs propres de $A$ étant fini, notons-le $\mathrm{Sp}(A) = \{\mu_1, \dots, \mu_k\}$. On a donc $\lambda_P \in \mathrm{Sp}(A)$ pour tout $P$.

3. Stabilité par l'action du groupe linéaire.

   L'égalité précédente se réécrit :

   $$A(P^{-1}v) = \lambda_P (P^{-1}v)$$
   Cela signifie que pour tout $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$, le vecteur $P^{-1}v$ est un vecteur propre de $A$. Soit $w \in \mathbb{C}^n$ un vecteur non nul quelconque. Il existe toujours une matrice $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ telle que $P^{-1}v = w$. (Il suffit de compléter $v$ et $w$ en des bases de $\mathbb{C}^n$ et de considérer l'application linéaire envoyant la base associée à $w$ sur celle associée à $v$). Par conséquent, tout vecteur non nul de $\mathbb{C}^n$ est un vecteur propre de $A$.

4. Conclusion sur la nature de A.

   Si tout vecteur non nul est un vecteur propre, alors $A$ est une homothétie. En effet, si $e_1, \dots, e_n$ est la base canonique, on a $Ae_i = \alpha_i e_i$. De plus, $A(e_1 + e_2) = \alpha_{1,2}(e_1 + e_2)$, ce qui donne $\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 = \alpha_{1,2} e_1 + \alpha_{1,2} e_2$, d'où $\alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_n = \lambda$. Ainsi, il existe $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $A = \lambda I_n$. Comme $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$, on doit avoir $\lambda \neq 0$. Réciproquement, si $A = \lambda I_n$ avec $\lambda \neq 0$, alors pour tout $P$, $PAP^{-1} = \lambda I_n$. La matrice $A$ commute évidemment avec $\lambda I_n$.

   L'ensemble recherché est donc :

   $$\boxed{ \mathcal{Z} = \{ \lambda I_n \mid \lambda \in \mathbb{C}^* \} }$$