Représentation symétrique d'une matrice complexe

On considère $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ . L'objectif est de démontrer que la classe de similitude de $A$ contient au moins une matrice symétrique.

On rappelle qu'un bloc de Jordan de taille $k$ associé à $\lambda \in \mathbb{C}$ est une matrice de la forme $J_{k}(\lambda) = \lambda I_{k} + N_{k}$ , où $N_{k} = \sum_{j=1}^{k-1} E_{j, j+1}$ est la matrice de nilpotence élémentaire. On admet que $A$ est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme : $\mathrm{diag}(J_{k_1}(\lambda_1), J_{k_2}(\lambda_2), \dots, J_{k_m}(\lambda_m))$ Montrer qu'il suffit de prouver le résultat pour un bloc de Jordan $J = J_{k}(\lambda)$ .
Soit $J = J_{k}(0)$ $J = J_{k} (0)$ le bloc de Jordan nilpotent de taille $k$ $k$ . On note $P \in \mathcal{M}_{k}(\mathbb{C})$ $P \in M_{k} (C)$ la matrice de permutation "renversante" définie par $P = \sum_{j=1}^{k} E_{j, k-j+1}$ $P = \sum_{j = 1}^{k} E_{j, k - j + 1}$ .
1. Vérifier que $P$ est symétrique et que $P^2 = I_k$ .
2. Montrer que $P J P^{-1} = J^T$ .
3. Justifier l'existence d'une matrice $Q \in \mathbb{C}[P]$ telle que $Q^2 = P$ . Montrer que $Q$ est alors symétrique et inversible.
En utilisant la matrice $Q$ de la question précédente, construire une matrice symétrique semblable à $J$ .
Conclure pour une matrice $A$ quelconque de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ .

1.

Pour la question 1, utiliser le fait qu'une matrice diagonale par blocs dont chaque bloc est symétrique est elle-même symétrique.

2.

Pour la question 2.(c), chercher $Q$ sous la forme $\alpha I + \beta P$ en utilisant la relation $P^2 = I$ .

3.

Pour la question 3, calculer $(Q J Q^{-1})^T$ en exploitant $P = Q^2$ et la relation entre $J$ , $J^T$ et $P$ .

Idées clés

•

Réduction de Jordan (admise par l'énoncé).

•

Utilisation de la matrice de passage vers la transposée.

•

Construction d'une racine carrée polynomiale d'une matrice symétrique.

Résolution.

Supposons que chaque bloc $J_{k_i}(\lambda_i)$ soit semblable à une matrice symétrique $S_i$ . Il existe alors des matrices inversibles $Q_i$ telles que $S_i = Q_i J_{k_i}(\lambda_i) Q_i^{-1}$ . En posant $Q = \mathrm{diag}(Q_1, \dots, Q_m)$ , la matrice $Q \mathrm{diag}(J_{k_1}, \dots, J_{k_m}) Q^{-1} = \mathrm{diag}(S_1, \dots, S_m)$ est symétrique car elle est diagonale par blocs de matrices symétriques. $\boxed{\text{Il suffit donc de traiter le cas d'un seul bloc de Jordan.}}$
Soit $J = J_k(0)$ $J = J_{k} (0)$ .
1. La matrice $P$ est définie par $P = (p_{i,j})$ avec $p_{i,j} = 1$ si $i+j=k+1$ et $0$ sinon. L'indice est symétrique ( $i+j = j+i$ ), donc $p_{i,j} = p_{j,i}$ , ce qui prouve que $P^2 = I_k$ car $P$ est une matrice de permutation associée à une involution sans point fixe (ou avec un point fixe central). Plus précisément : $(P^2)_{i,j} = \sum_{l=1}^k p_{i,l}p_{l,j}$ . Le seul terme non nul est pour $l = k-i+1$ . Alors $p_{i,k-i+1}p_{k-i+1,j} = 1$ si et seulement si $k-i+1 + j = k+1$ , soit $j=i$ . $\boxed{P = P^T \text{et} P^2 = I_k}$
2. On sait que $J = \sum_{j=1}^{k-1} E_{j, j+1}$ et $J^T = \sum_{j=1}^{k-1} E_{j+1, j}$ . Le calcul direct donne $P E_{j, j+1} P = E_{k-j+1, k-j}$ . En sommant, on obtient $P J P = \sum_{j=1}^{k-1} E_{k-j+1, k-j}$ . En posant $m = k-j$ , on parcourt les indices de $2$ à $k$ , donc $PJP = \sum_{m=2}^{k} E_{m+1, m}$ (attention au décalage), ce qui est exactement $J^T$ . $\boxed{P J P^{-1} = J^T}$
3. Puisque $P^2 = I_k$ , les valeurs propres de $P$ sont incluses dans $\{-1, 1\}$ . On cherche $Q = \alpha I + \beta P$ . Alors $Q^2 = (\alpha^2 + \beta^2)I + 2\alpha\beta P$ . Pour avoir $Q^2 = P$ , on résout : $\begin{cases} \alpha^2 + \beta^2 = 0 2\alpha\beta = 1 \end{cases}$ En remplaçant $\beta = 1/(2\alpha)$ , on obtient $\alpha^2 + 1/(4\alpha^2) = 0$ , soit $4\alpha^4 = -1$ . Une solution est $\alpha = \frac{1+i}{2}$ . Alors $\beta = \frac{1}{1+i} = \frac{1-i}{2}$ . Comme $Q \in \mathbb{C}[P]$ et que $P$ est symétrique, $Q$ est symétrique. De plus, $det(Q^2) = det(P) = (-1)^{\lfloor k/2 \rfloor} \neq 0$ , donc $Q$ est inversible.
Posons $S = Q J Q^{-1}$ . Puisque $Q$ est inversible, $S$ est semblable à $J$ . Vérifions que $S$ est symétrique : $S^T = (Q J Q^{-1})^T = (Q^{-1})^T J^T Q^T$ Comme $Q$ est symétrique, $Q^T = Q$ et $(Q^{-1})^T = Q^{-1}$ . $S^T = Q^{-1} J^T Q$ Or, d'après 2(b), $J^T = P J P^{-1}$ , et comme $P = Q^2$ , on a : $S^T = Q^{-1} (Q^2 J Q^{-2}) Q = Q J Q^{-1} = S$ $\boxed{S \text{ est une matrice symétrique semblable à } J}$
Si $J = \lambda I + N$ , alors d'après ce qui précède, il existe $Q$ telle que $Q N Q^{-1} = S_0$ avec $S_0$ symétrique. Alors $Q J Q^{-1} = \lambda I + S_0$ , qui est encore une matrice symétrique. Le résultat général découle alors de la réduction par blocs de la question 1.

Attention : sur $\mathbb{R}$ , ce résultat est faux. Une matrice réelle semblable à une matrice symétrique réelle est nécessairement diagonalisable (théorème spectral). Or, il existe des matrices réelles non diagonalisables. L'existence de la racine carrée de $P$ dans $\mathbb{C}[P]$ utilise de manière cruciale le fait que $-1$ possède une racine carrée dans $\mathbb{C}$ .