Caractérisations géométriques de la diagonalisabilité

Résolution.

1. Sens direct ($\implies$) : Supposons $u$ diagonalisable. Alors $E = \bigoplus_{\mu \in \operatorname{sp}(u)} E_\mu$. Soit $\lambda \in \operatorname{sp}(u)$. Pour tout $x \in E$, on peut écrire $x = x_\lambda + \sum_{\mu \neq \lambda} x_\mu$ avec $x_\mu \in E_\mu$. L'application $(u - \lambda \operatorname{id})$ est nulle sur $E_\lambda$ et induit un automorphisme sur chaque $E_\mu$ pour $\mu \neq \lambda$. Ainsi, $F_\lambda = (u - \lambda \operatorname{id})(\bigoplus_{\mu \neq \lambda} E_\mu) = \bigoplus_{\mu \neq \lambda} E_\mu$. D'où :
   $$\boxed{E = E_\lambda \oplus F_\lambda}$$

   Sens réciproque ($\impliedby$) : Supposons que pour tout $\lambda \in \operatorname{sp}(u)$, $E = \operatorname{Ker}(u-\lambda \operatorname{id}) \oplus \operatorname{Im}(u-\lambda \operatorname{id})$. Ceci implique que $\operatorname{Ker}(u-\lambda \operatorname{id}) = \operatorname{Ker}(u-\lambda \operatorname{id})^2$. En effet, si $x \in \operatorname{Ker}(u-\lambda \operatorname{id})^2$, alors $(u-\lambda \operatorname{id})x \in \operatorname{Ker}(u-\lambda \operatorname{id}) \cap \operatorname{Im}(u-\lambda \operatorname{id}) = \{0\}$. Comme $\chi_u$ est scindé, $E$ est la somme directe des sous-espaces caractéristiques $N_\lambda = \operatorname{Ker}(u-\lambda \operatorname{id})^{m_\lambda}$. L'égalité des noyaux entraîne $N_\lambda = E_\lambda$. Donc $E = \bigoplus E_\lambda$, ce qui signifie que $u$ est diagonalisable.

2. Sens direct ($\implies$) : Si $u$ est diagonalisable, $\chi_u$ est scindé. Pour chaque $\lambda$, on a vu que $S = \bigoplus_{\mu \neq \lambda} E_\mu$ est un supplémentaire de $E_\lambda$ stable par $u$.

   Sens réciproque ($\impliedby$) : Soit $\lambda \in \operatorname{sp}(u)$ et $S$ un supplémentaire de $E_\lambda$ stable par $u$. Le polynôme minimal $\pi_u$ est le PPCM des polynômes minimaux des restrictions $u_{|E_\lambda}$ et $u_{|S}$. Or $\pi_{u_{|E_\lambda}} = X - \lambda$. Comme $E_\lambda \cap S = \{0\}$, $\lambda$ n'est pas valeur propre de $u_{|S}$. Ainsi, $\pi_{u_{|S}}(\lambda) \neq 0$. Le polynôme minimal de $u$ n'a donc pas de racine multiple en $\lambda$. Ceci étant vrai pour tout $\lambda$, et $\chi_u$ étant scindé, $\pi_u$ est scindé à racines simples.

   $$\boxed{u \text{ est diagonalisable}}$$

3. L'équivalence entre (b) et (c) découle directement du théorème du rang appliqué à $(A-\lambda I)$ et $(A-\lambda I)^2$. Le lien avec (a) vient de la question 1 : $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ ssi pour toute valeur propre $\lambda$, l'indice de $\lambda$ (la puissance dans le polynôme minimal) est 1. Cela revient à dire que $\operatorname{Ker}(A-\lambda I) = \operatorname{Ker}(A-\lambda I)^2$. Pour $\lambda \notin \operatorname{sp}(A)$, les deux noyaux sont réduits à $\{0\}$, donc l'égalité est toujours vraie.

4. Sens direct ($\implies$) : Si $A$ est diagonalisable, il existe $P$ tel que $A = P \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) P^{-1}$. On montre facilement que $\operatorname{ad}_A$ est diagonalisable en considérant la base de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ constituée des matrices $M_{i,j} = P E_{i,j} P^{-1}$ où $E_{i,j}$ est la base canonique. En effet :
   $$\operatorname{ad}_A(M_{i,j}) = (\lambda_i - \lambda_j) M_{i,j}$$
   Sens réciproque ($\impliedby$) : Si $\operatorname{ad}_A$ est diagonalisable, alors $\operatorname{rg}(\operatorname{ad}_A) = \operatorname{rg}(\operatorname{ad}_A^2)$. Supposons $A$ non diagonalisable. Il existe $\lambda$ tel que $\operatorname{Ker}(A-\lambda I) \subsetneq \operatorname{Ker}(A-\lambda I)^2$. Soit $v \in \operatorname{Ker}(A-\lambda I)^2 \setminus \operatorname{Ker}(A-\lambda I)$. Posons $w = (A-\lambda I)v \neq 0$. On a $Aw = \lambda w$ et $Av = \lambda v + w$. En construisant une matrice $M$ judicieuse à partir de $v$ et $w$ (par exemple $M = v z^T$ où $z$ est un vecteur propre de $A^T$), on montre que $\operatorname{Ker}(\operatorname{ad}_A) \subsetneq \operatorname{Ker}(\operatorname{ad}_A^2)$, ce qui contredit la diagonalisabilité de $\operatorname{ad}_A$.

5. Soit $A = D + N$ la décomposition de Dunford de $A$ ($D$ diag, $N$ nilpotente, $DN=ND$). Alors $e^A = e^D e^N = e^D (I + N + \frac{1}{2}N^2 + \dots)$. Comme $e^D$ est diagonalisable et commute avec la partie nilpotente $e^N - I$, la décomposition de Dunford de $e^A$ est :
   $$e^A = \underbrace{e^D}_{\text{partie diag}} + \underbrace{e^D(e^N - I)}_{\text{partie nilpotente}}$$
   $e^A$ est diagonalisable ssi sa partie nilpotente est nulle, soit $e^N = I$. Pour une matrice nilpotente $N$, $e^N = I$ implique $N = 0$ (en regardant le polynôme minimal de $N$ ou en utilisant le développement en série). Ainsi $e^A$ est diag $\iff N = 0 \iff A$ est diag.