Diagonalisation d'un opérateur différentiel polynomial

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère l'espace vectoriel $E = \mathbb{C}_n[X]$ des polynômes à coefficients complexes de degré au plus $n$ .

On définit l'application $f$ sur $E$ par :

\forall P \in E,   f(P) = (X^2 - 1) P''

Démontrer que $f$ est un endomorphisme de $E$ et qu'il est diagonalisable.

1.

Commencer par vérifier que pour tout polynôme $P$ de degré $\le n$ , son image $f(P)$ appartient bien à $E$ .

2.

Déterminer la matrice de $f$ dans la base canonique $(1, X, X^2, \dots, X^n)$ .

3.

Identifier les valeurs propres sur la diagonale de cette matrice et étudier leur multiplicité.

4.

Comparer la multiplicité de la valeur propre $0$ avec la dimension du noyau de $f$ .

Idées clés

•

Traduction matricielle dans la base canonique.

•

Étude du spectre d'une matrice triangulaire.

•

Caractérisation de la diagonalisabilité par la dimension des sous-espaces propres.

1. Nature de l'application $f$ .

Soit $P \in \mathbb{C}_n[X]$ . Si $P$ est un polynôme de degré $d \le n$ , alors sa dérivée seconde $P''$ est un polynôme de degré $d-2$ (avec la convention $\deg = -\infty$ si $d < 2$ ).

Le produit $(X^2-1)P''$ est donc un polynôme de degré au plus $2 + (d-2) = d \le n$ .

L'application $f$ est une application de $E$ dans $E$ . La linéarité de la dérivation et du produit assure que $f$ est un endomorphisme de $E$ .

2. Représentation matricielle.

Calculons l'image des vecteurs de la base canonique $\mathcal{B} = (X^k)_{0 \le k \le n}$ .

Pour $k=0$ , $f(1) = 0$ .

Pour $k=1$ , $f(X) = 0$ .

Pour $k \in \{2, \dots, n\}$ , on a :

f(X^k) = (X^2 - 1) \cdot k(k-1)X^{k-2} = k(k-1)X^k - k(k-1)X^{k-2}

La matrice $M$ de $f$ dans la base $\mathcal{B}$ est donc une matrice dont chaque colonne $j$ (pour $j \in \{0, \dots, n\}$ ) ne contient des coefficients non nuls qu'aux lignes $j$ et $j-2$ .

En particulier, $M$ est une matrice supérieure triangulaire.

3. Recherche des valeurs propres.

Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux.

D'après le calcul précédent, les coefficients diagonaux sont :

\lambda_k = k(k-1)   \text{pour } k \in \{0, 1, \dots, n\}

Listons ces valeurs : $\lambda_0 = 0$ , $\lambda_1 = 0$ , $\lambda_2 = 2$ , $\lambda_3 = 6$ , ..., $\lambda_n = n(n-1)$ .

L'application $k \mapsto k(k-1)$ est strictement croissante sur $[1, n]$ .

Ainsi, les valeurs propres $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ sont toutes distinctes.

\boxed{\text{Sp}(f) = \{ k(k-1) \mid k \in \{1, \dots, n\} \}}

La valeur propre $0$ est de multiplicité $2$ (car $\lambda_0 = \lambda_1 = 0$ ), tandis que les autres valeurs propres sont simples.

4. Condition de diagonalisabilité.

L'endomorphisme $f$ est diagonalisable si et seulement si pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à sa multiplicité.

Pour les valeurs propres simples, cette condition est automatiquement vérifiée. Il reste donc à étudier le sous-espace propre associé à la valeur propre $0$ , c'est-à-dire $\ker(f)$ .

P \in \ker(f) \iff (X^2 - 1) P'' = 0

Comme le polynôme $X^2 - 1$ n'est pas le polynôme nul et que l'anneau des polynômes est intègre, cela équivaut à :

P'' = 0 \iff P \in \mathbb{C}_1[X]

Le noyau est donc $\text{Vect}(1, X)$ , ce qui nous donne :

\boxed{\dim(\ker(f)) = 2}

La dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre $0$ est égale à sa multiplicité algébrique dans le polynôme caractéristique.

Conclusion.

Toutes les multiplicités géométriques égalent les multiplicités algébriques, et le polynôme caractéristique est scindé (car nous sommes sur $\mathbb{C}$ ou par nature des racines).

\boxed{f \text{ est diagonalisable}}

Une erreur classique est de compter $n+1$ valeurs propres distinctes sans remarquer que $k=0$ et $k=1$ donnent tous deux $\lambda = 0$ . Si l'on ne vérifie pas la dimension du noyau, on ne peut pas conclure directement.