Diagonalisabilité des endomorphismes de composition

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimensions finies sur $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). Pour un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ , on définit l'application :

\Phi_{u} : \begin{cases} \mathcal{L}(E, F) \to \mathcal{L}(E, F) v \mapsto v \circ u \end{cases}

De même, pour

a \in \mathcal{L}(F)

, on définit :

\Psi_{a} : \begin{cases} \mathcal{L}(E, F) \to \mathcal{L}(E, F) v \mapsto a \circ v \end{cases}

Justifier que $\Phi_{u}$ et $\Psi_{a}$ sont des endomorphismes de l'espace vectoriel $\mathcal{L}(E, F)$ .
Étude par les polynômes annulateurs
1. Pour tout polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ , exprimer $P(\Phi_{u})$ en fonction de $P(u)$ .
2. En déduire que $u$ est diagonalisable si et seulement si $\Phi_{u}$ est diagonalisable.
3. Montrer de même que $a$ est diagonalisable si et seulement si $\Psi_{a}$ est diagonalisable.
Étude par les éléments propres On suppose ici $E=F$ $E = F$ .
1. Déterminer le spectre de $\Phi_{u}$ en fonction de celui de $u$ .
2. Soit $\lambda \in \text{Sp}(u)$ . Caractériser les éléments de $\ker(\Phi_{u} - \lambda \text{id}_{\mathcal{L}(E)})$ à l'aide de l'image de $u - \lambda \text{id}_E$ .
3. En déduire que $\dim(\ker(\Phi_{u} - \lambda \text{id}_{\mathcal{L}(E)})) = \dim(E) \cdot \dim(\ker(u - \lambda \text{id}_E))$ .
4. Retrouver l'équivalence de la question 2.(b) par un argument dimensionnel.
Application aux matrices Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ . On considère $L_A : M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \mapsto AM$ . Montrer que $L_A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable.

1.

Pour les polynômes, remarquer par récurrence que $(\Phi_u)^k(v) = v \circ u^k$ .

2.

Pour le spectre, $v \circ (u - \lambda \text{id}) = 0$ signifie que $\text{Im}(u - \lambda \text{id}) \subset \ker(v)$ .

3.

Pour la dimension du noyau de $\Phi_u - \lambda \text{id}$ , utiliser le fait qu'une application linéaire est déterminée par les images des vecteurs d'une base.

4.

Pour le cas matriciel, identifier $L_A$ à un endomorphisme de type $\Psi_a$ en choisissant les bases canoniques.

Idées clés

•

Relation entre polynômes d'endomorphismes : $P(\Phi_u)(v) = v \circ P(u)$ .

•

Caractérisation de la diagonalisabilité par l'existence d'un polynôme scindé à racines simples.

•

Lien entre $\ker(v)$ et $\text{Im}(u - \lambda \text{id})$ pour les vecteurs propres.

Résolution.

Soient $v_1, v_2 \in \mathcal{L}(E, F)$ et $\alpha \in \mathbb{K}$ . Par linéarité de la composition à gauche : $\Phi_u(\alpha v_1 + v_2) = (\alpha v_1 + v_2) \circ u = \alpha (v_1 \circ u) + (v_2 \circ u) = \alpha \Phi_u(v_1) + \Phi_u(v_2)$ Le raisonnement est identique pour $\Psi_a$ en utilisant la linéarité de la composition à droite. $\Phi_u$ et $\Psi_a$ sont bien des applications linéaires de $\mathcal{L}(E, F)$ dans lui-même.
1. Par une récurrence immédiate, on montre que pour tout $k \in \mathbb{N}$ , $(\Phi_u)^k(v) = v \circ u^k$ . Par linéarité de la composition, pour tout polynôme $P = \sum a_k X^k$ , on a : $\boxed{P(\Phi_u)(v) = v \circ P(u)}$
2. Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples sur $\mathbb{K}$ . D'après la relation précédente, $P(\Phi_u) = 0$ si et seulement si pour tout $v \in \mathcal{L}(E, F)$ , $v \circ P(u) = 0$ . En prenant $v = \text{id}_E$ (si $E=F$ ) ou en testant sur une base, on voit que : $P(\Phi_u) = 0 \iff P(u) = 0$ Ainsi, $u$ et $\Phi_u$ possèdent exactement les mêmes polynômes annulateurs. L'existence d'un polynôme scindé à racines simples pour l'un équivaut à son existence pour l'autre. $\boxed{u \text{ est diag. } \iff \Phi_u \text{ est diag.}}$
3. De la même manière, on montre que $P(\Psi_a)(v) = P(a) \circ v$ . L'équivalence $P(\Psi_a) = 0 \iff P(a) = 0$ mène au même résultat : $\boxed{a \text{ est diag. } \iff \Psi_a \text{ est diag.}}$
1. $\lambda \in \text{Sp}(\Phi_u)$ s'il existe $v \neq 0$ tel que $v \circ u = \lambda v$ , soit $v \circ (u - \lambda \text{id}_E) = 0$ . Ceci impose que $u - \lambda \text{id}_E$ n'est pas inversible (sinon $v = 0 \circ (u - \lambda \text{id}_E)^{-1} = 0$ ). Comme $E$ est de dimension finie, $u - \lambda \text{id}_E$ non inversible équivaut à $\lambda \in \text{Sp}(u)$ . Inversement, si $\lambda \in \text{Sp}(u)$ , il existe une forme linéaire non nulle $\phi$ telle que $\phi \circ (u - \lambda \text{id}_E) = 0$ (en prenant $\phi$ s'annulant sur l'image). On construit alors $v \neq 0$ et on conclut : $\boxed{\text{Sp}(\Phi_u) = \text{Sp}(u)}$
2. $v \in \ker(\Phi_{u} - \lambda \text{id}_{\mathcal{L}(E)}) \iff \forall x \in E, v(u(x)) = \lambda v(x) \iff \forall x \in E, v((u - \lambda \text{id}_E)(x)) = 0$ . Cela équivaut exactement à : $\boxed{\text{Im}(u - \lambda \text{id}_E) \subset \ker(v)}$
3. Notons $H = \text{Im}(u - \lambda \text{id}_E)$ et $r = \text{rg}(u - \lambda \text{id}_E)$ . Une application linéaire $v \in \mathcal{L}(E)$ est dans le sous-espace propre si et seulement si elle s'annule sur $H$ . Soit $(e_1, \dots, e_r)$ une base de $H$ , complétée en une base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ de $E$ . $v$ est caractérisée par les images des vecteurs de $\mathcal{B}$ . Ici : $v(e_1) = \dots = v(e_r) = 0$ , et $v(e_{r+1}), \dots, v(e_n)$ sont libres dans $E$ . Il y a $n-r$ vecteurs dont l'image est libre dans un espace de dimension $n$ . La dimension du sous-espace est donc $(n-r) \times n$ . Or $n-r = \dim E - \text{rg}(u - \lambda \text{id}_E) = \dim \ker(u - \lambda \text{id}_E)$ . D'où : $\boxed{\dim(\ker(\Phi_u - \lambda \text{id})) = \dim(E) \cdot \dim(\ker(u - \lambda \text{id}))}$
4. L'endomorphisme $\Phi_u$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de son espace de départ $\mathcal{L}(E)$ , soit $n^2$ . $\sum_{\lambda \in \text{Sp}(u)} \dim(\ker(\Phi_u - \lambda \text{id})) = \sum_{\lambda \in \text{Sp}(u)} n \cdot \dim(\ker(u - \lambda \text{id})) = n \sum_{\lambda \in \text{Sp}(u)} \dim(\ker(u - \lambda \text{id}))$ Cette somme vaut $n^2$ si et seulement si $\sum \dim(\ker(u - \lambda \text{id})) = n$ , ce qui définit la diagonalisabilité de $u$ .
Soit $\mathcal{B}_n$ et $\mathcal{B}_p$ les bases canoniques de $\mathbb{K}^n$ et $\mathbb{K}^p$ . L'application $L_A$ est la représentation matricielle de $\Psi_a$ où $a$ est l'endomorphisme de $\mathbb{K}^n$ canoniquement associé à $A$ , agissant sur $\mathcal{L}(\mathbb{K}^p, \mathbb{K}^n)$ . D'après la question 2.(c), $\Psi_a$ est diagonalisable si et seulement si $a$ l'est. Par conséquent, $\boxed{L_A \text{ est diag. } \iff A \text{ est diag.}}$

Ne pas confondre $\Phi_u (v) = v \circ u$ et $\Psi_u (v) = u \circ v$ . Bien que les propriétés de diagonalisabilité soient identiques, les structures des sous-espaces propres diffèrent (l'un dépend de l'image, l'autre du noyau).