Action de puissances de matrices diagonalisables

Soient $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $\mathbb{K}$ un corps ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). On considère trois matrices $A, B, M$ appartenant à $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .

On suppose que les matrices $A$ et $B$ sont diagonalisables dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ . On suppose également qu'il existe un entier naturel non nul $m$ tel que :

A^{m} M B^{m}=0

Démontrer que l'on a nécessairement :

A M B=0

1.

Utiliser le fait qu'une matrice est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale.

2.

Exprimer la relation $A^m M B^m = 0$ en passant par les matrices de passage $P$ et $Q$ qui diagonalisent respectivement $A$ et $B$ .

3.

Étudier l'égalité obtenue coefficient par coefficient.

Idées clés

•

Réduction au cas diagonal par similitude.

•

Analyse de la structure du produit $D_1 M' D_2$ où $D_1, D_2$ sont diagonales.

•

Propriété de l'élévation à la puissance dans un corps : $x^m = 0 \implies x = 0$ .

Résolution.

Puisque les matrices $A$ et $B$ sont diagonalisables dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ , il existe deux matrices inversibles $P, Q \in GL_{n}(\mathbb{K})$ et deux matrices diagonales $D_A, D_B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ telles que :

A = P D_A P^{-1}   \text{et}   B = Q D_B Q^{-1}

Notons $D_A = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ et $D_B = \text{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)$ les éléments diagonaux respectifs de $D_A$ et $D_B$ .

Pour tout entier $m \in \mathbb{N}^*$ , on a par récurrence immédiate :

A^m = P D_A^m P^{-1}   \text{et}   B^m = Q D_B^m Q^{-1}

L'hypothèse $A^{m} M B^{m}=0$ se réécrit donc :

\left( P D_A^m P^{-1} \right) M \left( Q D_B^m Q^{-1} \right) = 0

En multipliant à gauche par $P^{-1}$ et à droite par $Q$ , on obtient l'égalité équivalente :

D_A^m (P^{-1} M Q) D_B^m = 0

Introduisons la matrice $M' = P^{-1} M Q$ , dont les coefficients sont notés $(m'_{i,j})_{1 \le i,j \le n}$ . L'égalité précédente devient :

D_A^m M' D_B^m = 0

Calculons le coefficient d'indice $(i,j)$ du produit $D_A^m M' D_B^m$ . Comme $D_A^m$ et $D_B^m$ sont diagonales, ce coefficient est simplement :

\lambda_i^m m'_{i,j} \mu_j^m = 0

On peut regrouper les termes sous la forme suivante :

(\lambda_i \mu_j)^m m'_{i,j} = 0

Dans le corps $\mathbb{K}$ , un produit de deux éléments est nul si et seulement si l'un des deux est nul. De plus, pour tout $x \in \mathbb{K}$ , $x^m = 0$ implique $x=0$ (puisque $\mathbb{K}$ est intègre). Ainsi, l'égalité précédente implique :

\boxed{ \lambda_i \mu_j m'_{i,j} = 0 }

Cette condition est satisfaite pour tous les couples d'indices $(i,j)$ . Elle signifie exactement que la matrice $D_A M' D_B$ est nulle. En effet :

(D_A M' D_B)_{i,j} = \lambda_i m'_{i,j} \mu_j = 0

Il ne reste plus qu'à revenir aux matrices initiales en multipliant par $P$ et $Q^{-1}$ :

P (D_A M' D_B) Q^{-1} = P D_A (P^{-1} M Q) D_B Q^{-1} = (P D_A P^{-1}) M (Q D_B Q^{-1}) = AMB

On conclut donc :

\boxed{ AMB = 0 }

Une erreur fréquente consiste à essayer de "simplifier" par $A^{m-1}$ ou $B^{m-1}$ sans s'assurer que les matrices sont inversibles. Ici, $A$ et $B$ peuvent être singulières. Le passage par la forme diagonale est crucial pour traiter le noyau de ces matrices.