Matrices à produits toujours diagonalisables

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}$ un corps ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). Déterminer l'ensemble des matrices $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ telles que, pour tout $P \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$ , la matrice $PA$ soit diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .

1.

Traiter d'abord le cas particulier $n=1$ .

2.

Pour $n \ge 2$ , raisonner par l'absurde en supposant $A \neq 0$ .

3.

Utiliser la réduction des matrices de rang $r$ (théorème de la base incomplète ou matrices équivalentes) pour se ramener à l'étude d'un produit $M J_r$ .

4.

Se souvenir qu'une matrice nilpotent non nulle n'est jamais diagonalisable. Chercher à construire $P$ tel que $PA$ soit nilpotente de cet acabit.

Idées clés

•

Cas particulier de la dimension 1.

•

Caractérisation des matrices de rang $r$ .

•

Lien entre nilpotence, diagonalisabilité et polynôme minimal.

Résolution.

1. Cas $n=1$ .

Dans ce cas, $\mathcal{M}_1(\mathbb{K})$ est l'ensemble des scalaires. Toute matrice $1 \times 1$ est diagonale, donc trivialement diagonalisable.

\boxed{\text{Si } n=1, \text{ toutes les matrices } A \in \mathcal{M}_1(\mathbb{K}) \text{ conviennent.}}

2. Cas $n \ge 2$ .

Soit $A$ une matrice répondant au problème. Supposons, par l'absurde, que $A \neq 0$ . Posons $r = \text{rg}(A) \in \{1, \dots, n\}$ .

Il existe des matrices $U, V \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ telles que $A = U J_r V$ , où $J_r$ est la matrice de rang $r$ dont les $r$ premiers coefficients diagonaux valent 1 et les autres 0.

Pour tout $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ , la matrice $PA = P U J_r V$ est diagonalisable. Par similitude, la matrice $V (PA) V^{-1} = (V P U) J_r$ est également diagonalisable.

Comme l'application $P \mapsto VPU$ est une bijection de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ sur lui-même, la condition est équivalente à :

\forall M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}),   M J_r \text{ est diagonalisable.}

Premier sous-cas : $r = n$ (A est inversible).

Si $r=n$ , alors $J_r = I_n$ . La condition devient : toute matrice $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ est diagonalisable. Or, pour $n \ge 2$ , il existe des matrices inversibles non diagonalisables, par exemple :

M = I_n + E_{1,2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 0 & 1 & \ddots 0 & \dots & 1 \end{pmatrix}

Le seul point du spectre de

M

est 1, mais sa dimension d'espace propre associé est

n-1 < n

. C'est une contradiction.

Second sous-cas : $1 \le r < n$ .

Considérons les colonnes de la matrice $M J_r$ . Par définition de $J_r$ , les $r$ premières colonnes de $M J_r$ sont les $r$ premières colonnes de $M$ , et les $n-r$ colonnes suivantes sont nulles. Notons $(C_1, \dots, C_n)$ les colonnes de $M$ . On a :

M J_r = \begin{pmatrix} C_1 & \dots & C_r & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}

Puisque $M$ est inversible, nous pouvons choisir ses colonnes librement tant qu'elles forment une base de $\mathbb{K}^n$ . Puisque $n \ge 2$ , on peut choisir $C_1 = E_2$ (le deuxième vecteur de la base canonique) et compléter par des vecteurs $C_2, \dots, C_n$ pour former une base.

Dans ce cas, la matrice $M J_r$ possède une seule colonne non nulle (la première), qui est $E_2$ . On a donc $M J_r = E_{2,1}$ .

Calculons le carré de cette matrice :

(M J_r)^2 = E_{2,1} E_{2,1} = 0   (\text{car } 1 \neq 2)

Ainsi, $M J_r$ est une matrice nilpotente. Une matrice nilpotente est diagonalisable si et seulement si elle est nulle. Or, $M J_r = E_{2,1} \neq 0$ .

C'est une contradiction avec l'hypothèse de diagonalisabilité.

Conclusion.

L'unique matrice de rang $r \in \{1, \dots, n\}$ qui pourrait éventuellement convenir a été exclue pour $n \ge 2$ . Seule la matrice nulle $A = 0$ vérifie toujours la condition (car $P \times 0 = 0$ est diagonalisable).

\boxed{\text{Si } n \ge 2,   \mathcal{S} = \{0\}}

L'erreur classique est d'oublier de traiter le cas $n=1$ séparément, ou de penser que $A = \lambda I$ pourrait fonctionner. Si $A = I$ , alors $PA = P$ , et toutes les matrices inversibles ne sont pas diagonalisables.