Diagonalisation d'une matrice par blocs complexes

Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ . On considère la matrice définie par blocs dans $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ suivante :

B=\left(\begin{array}{c|c} I_{n} & A \hline-A & I_{n} \end{array}\right)

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que la matrice $B$ soit diagonalisable dans $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ .

1.

Remarquer que $B = I_{2n} + M$ où $M$ est une matrice par blocs simple.

2.

Étudier la diagonalisabilité de $M$ plutôt que celle de $B$ .

3.

Chercher une matrice de passage par blocs, faisant intervenir $i I_n$ , pour transformer $M$ en une matrice diagonale par blocs.

Idées clés

•

Lien entre la diagonalisabilité de $u$ et de $u + \lambda \text{id}$ .

•

Réduction par blocs à l'aide d'un changement de base complexe.

•

Diagonalisabilité d'une matrice diagonale par blocs.

Résolution.

Commençons par simplifier le problème en décomposant $B$ à l'aide de la matrice identité de $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ . Posons $M = \begin{pmatrix} 0 & A -A & 0 \end{pmatrix}$ , de sorte que $B = I_{2n} + M$ . Comme $I_{2n}$ commute avec n'importe quelle matrice, $B$ est diagonalisable si et seulement si $M$ l'est. $\boxed{B \in \text{Diag}_{2n}(\mathbb{C}) \iff M \in \text{Diag}_{2n}(\mathbb{C})}$
Cherchons à réduire la matrice $M$ par blocs. Pour cela, considérons la matrice de changement de base suivante : $P = \begin{pmatrix} I_n & I_n i I_n & -i I_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ Montrons que $P$ est inversible. Par un calcul de déterminant par blocs (ou en résolvant le système associé), on trouve que $P$ est inversible et son inverse est : $P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} I_n & -i I_n I_n & i I_n \end{pmatrix}$
Effectuons le produit matriciel $MP$ pour identifier la structure de $M$ dans cette nouvelle base : $MP = \begin{pmatrix} 0 & A -A & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n & I_n i I_n & -i I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i A & -i A -A & -A \end{pmatrix}$ Calculons maintenant $D = P^{-1} M P$ : $D = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} I_n & -i I_n I_n & i I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i A & -i A -A & -A \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} iA + iA & -iA + iA iA - iA & -iA - iA \end{pmatrix}$ On obtient ainsi une matrice diagonale par blocs : $\boxed{D = \begin{pmatrix} iA & 0 0 & -iA \end{pmatrix}}$
La matrice $M$ est donc semblable à la matrice $D = \text{diag}(iA, -iA)$ . Or, une matrice diagonale par blocs est diagonalisable si et seulement si chacun de ses blocs diagonaux est diagonalisable. Ainsi, $M$ est diagonalisable si et seulement si $iA$ et $-iA$ sont diagonalisables. Puisque pour tout $\alpha \in \mathbb{C}^*$ , une matrice $X$ est diagonalisable si et seulement si $\alpha X$ l'est, on en déduit que : $M \text{ est diagonalisable} \iff A \text{ est diagonalisable}$
En revenant à la matrice $B$ , nous concluons : $\boxed{B \text{ est diagonalisable dans } \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C}) \iff A \text{ est diagonalisable dans } \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}$

Attention à ne pas oublier que $B$ est une matrice de taille $2n \times 2n$ . Il est crucial de bien manipuler les blocs et de vérifier l'inversibilité de la matrice de passage $P$ . Une erreur classique est de supposer que $B$ est toujours diagonalisable en pensant à des propriétés de matrices réelles (comme les matrices antisymétriques), mais ici $A$ est quelconque dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .