Réduction d'une matrice d'ordre 3

Soit $M \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ une matrice différente de la matrice identité $I_3$, satisfaisant la relation :

M^3 = I_3

Déterminer l'ensemble des valeurs propres complexes de la matrice $M$.
Démontrer que la matrice $M$ est semblable, dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$, à la matrice : $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & -1/2 & -\sqrt{3}/2 0 & \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}$

1.

Utiliser le polynôme annulateur $P(X) = X^3 - 1$ et ses racines dans $\mathbb{C}$.

2.

Se rappeler qu'une matrice réelle dont le polynôme minimal est à racines simples est diagonalisable sur $\mathbb{C}$.

3.

Exploiter le fait que si $\lambda$ est une valeur propre complexe d'une matrice réelle, alors $\overline{\lambda}$ l'est aussi avec la même multiplicité.

4.

Utiliser le résultat suivant : deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ semblables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ sont également semblables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

Idées clés

•

Polynôme annulateur scindé à racines simples.

•

Structure du spectre d'une matrice réelle (conjugaison).

•

Lien entre similitude réelle et similitude complexe.

Résolution.

Détermination des valeurs propres complexes.
Le polynôme $P(X) = X^3 - 1$ est un polynôme annulateur de $M$. Ses racines dans $\mathbb{C}$ sont les racines troisièmes de l'unité :
$\text{Roots}(P) = \{1, j, j^2\} \text{avec} j = e^{i\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ Le spectre de $M$ dans $\mathbb{C}$, noté $\text{Sp}_{\mathbb{C}}(M)$, est inclus dans l'ensemble des racines de tout polynôme annulateur. On a donc : $\text{Sp}_{\mathbb{C}}(M) \subset \{1, j, j^2\}$
Le polynôme $P$ est scindé à racines simples dans $\mathbb{C}$. Par conséquent, la matrice $M$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$. Si $\text{Sp}_{\mathbb{C}}(M) = \{1\}$, alors la forme diagonale de $M$ serait $I_3$. Comme $M$ est diagonalisable, cela impliquerait $M = I_3$, ce qui est exclu par l'énoncé. Comme $M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$, son polynôme caractéristique $\chi_M$ est à coefficients réels et de degré 3. Si une valeur propre complexe non réelle (ici $j$ ou $j^2$) est racine de $\chi_M$, alors son conjugué l'est aussi avec la même multiplicité. Ici, $\overline{j} = j^2$. Ainsi, $j$ et $j^2$ sont nécessairement valeurs propres de $M$. Comme la somme des multiplicités des valeurs propres (comptées avec leur multiplicité) doit être égale à 3, la seule possibilité restante pour la troisième valeur propre est 1.
On en déduit l'ensemble des valeurs propres complexes de $M$ :
$\boxed{\text{Sp}_{\mathbb{C}}(M) = \{1, j, j^2\}}$
Preuve de la similitude.
D'après la question précédente, les valeurs propres de $M$ sont distinctes (1, $j$, et $j^2$). La matrice $M$ est donc semblable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ à la matrice diagonale :
$D = \text{diag}(1, j, j^2)$
Considérons maintenant la matrice $A$ proposée dans l'énoncé. Calculons son polynôme caractéristique par un développement suivant la première ligne :
$\chi_A(X) = \det(A - XI_3) = (1-X) \left| \begin{matrix} -1/2-X & -\sqrt{3}/2 \sqrt{3}/2 & -1/2-X \end{matrix} \right|$

$\chi_A(X) = (1-X) \left( \left(X + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \right) = (1-X)(X^2 + X + 1)$
Les racines de $X^2 + X + 1$ sont précisément $j$ et $j^2$. Ainsi :
$\chi_A(X) = -(X-1)(X-j)(X-j^2)$
La matrice $A$ possède trois valeurs propres complexes distinctes. Elle est donc également semblable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ à la matrice diagonale $D$. Par transitivité de la relation de similitude :
$M \sim D \text{et} A \sim D \implies M \sim A \text{ dans } \mathcal{M}_3(\mathbb{C})$
Or, un résultat classique de réduction stipule que si deux matrices réelles sont semblables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, elles le sont aussi dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Par conséquent :
$\boxed{M \text{ est semblable à } A \text{ dans } \mathcal{M}_3(\mathbb{R})}$

L'erreur fréquente consiste à oublier de justifier que $M$ est diagonalisable. Sans la diagonalisabilité, le fait que le spectre soit inclus dans $\{1, j, j^2\}$ ne suffirait pas à dire que $M$ est semblable à une matrice diagonale ou à la matrice $A$. Ici, c'est le fait que le polynôme annulateur $X^3-1$ soit à racines simples qui assure cette propriété.